专题02曲线的切线方程考点一求切线的方程【方法总结】求曲线切线方程的步骤(1)求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程的步骤第一步，求出函数yf(x)在点xx0处的导数值f(x0)，即曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率；第二步，由点斜式方程求得切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)(2)求曲线过点P(x0，y0)的切线方程的步骤第一步，设出切点坐标P(x1，f(x1)；第二步，写出过P(x1，f(x1)的切线方程为yf(x1)f(x1)(xx1)；第三步，将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；第四步，将x1的值代入方程yf(x1)f(x1)(xx1)可得过点P(x0，y0)的切线方程注意：在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点【例题选讲】例1(1) (2021全国甲)曲线y在点(1，3)处的切线方程为_答案5xy20解析y，所以y|x15，所以切线方程为y35(x1)，即5xy20(2) (2020全国)函数f(x)x42x3的图象在点(1，f(1)处的切线方程为()Ay2x1By2x1Cy2x3Dy2x1答案B解析f(1)121，切点坐标为(1，1)，f(x)4x36x2，所以切线的斜率为kf(1)4136122，切线方程为y12(x1)，即y2x1(3) (2018全国)设函数f(x)x3(a1)x2ax若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为()Ay2xByxCy2xDyx答案D解析法一因为函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，所以f(x)f(x)，所以(x)3(a1)(x)2a(x)x3(a1)x2ax，所以2(a1)x20因为xR，所以a1，所以f(x)x3x，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为yx故选D法二因为函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，所以f(1)f(1)0，所以1a1a(1a1a)0，解得a1，此时f(x)x3x(经检验，f(x)为奇函数)，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为yx故选D法三易知f(x)x3(a1)x2axxx2(a1)xa，因为f(x)为奇函数，所以函数g(x)x2(a1)xa为偶函数，所以a10，解得a1，所以f(x)x3x，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为yx故选D(4) (2020全国)曲线yln xx1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为_答案2xy0解析设切点坐标为(x0，y0)，因为yln xx1，所以y1，所以切线的斜率为12，解得x01所以y0ln 1112，即切点坐标为(1，2)，所以切线方程为y22(x1)，即2xy0(5)已知函数f(x)xlnx，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为 答案xy10解析点(0，1)不在曲线f(x)xln x上，设切点为(x0，y0)又f(x)1ln x，直线l的方程为y1(1ln x0)x由解得x01，y00直线l的方程为yx1，即xy10(6) (2021新高考)若过点(a，b)可以作曲线yex的两条切线，则()AebaBeabC0aeb D0bea答案D解析根据yex图象特征，yex是下凸函数，又过点(a，b)可以作曲线yex的两条切线，则点(a，b)在曲线yex的下方且在x轴的上方，得0b0)处的切线与直线xy20平行，则2x01x01，y01，则P(1，1)，则曲线yx2ln x上的点到直线xy20的最短距离d【对点训练】1设点P是曲线yx3x上的任意一点，则曲线在点P处切线的倾斜角的取值范围为()ABCD1答案C解析y3x2，y，tan ，又0，)，故，故选C2函数f(x)ex在x1处的切线方程为 2答案y(e1)x2解析f(x)ex，f(1)e1，又f(1)e1，切点为(1，e1)，切线斜率kf(1)e1，即切线方程为y(e1)(e1)(x1)，即y(e1)x23(2019全国)曲线y3(x2x)ex在点(0，0)处的切线方程为_3答案y3x解析y3(2x1)ex3(x2x)ex3ex(x23x1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率ke033，所以所求切线方程为y3x4曲线f(x)在点P(1，f(1)处的切线l的方程为()Axy20B2xy30C3xy20D3xy404答案D解析因为f(x)，所以f(x)又f(1)1，且f(1)3，故所求切线方程为y13(x1)，即3xy405(2019全国)曲线y2sin xcos x在点(，1)处的切线方程为()Axy10 B2xy210C2xy210Dxy105答案C解析设yf(x)2sin xcos x，则f(x)2cos xsin x，f()2，曲线在点(，1)处的切线方程为y(1)2(x)，即2xy210故选C6(2019天津)曲线ycos x在点(0，1)处的切线方程为_6答案yx1解析ysin x，将x0代入，可得切线斜率为所以切线方程为y1x，即yx17已知f(x)x为奇函数(其中e是自然对数的底数)，则曲线yf(x)在x0处的切线方程为 7答案2xy0解析f(x)为奇函数，f(1)f(1)0，即eae0，解得a1，f(x)x，f(x)x，曲线yf(x)在x0处的切线的斜率为2，又f(0)0，曲线yf(x)在x0处的切线的方程为2xy08已知曲线yx3上一点P，则过点P的切线方程为_8答案3x3y20或12x3y160解析设切点坐标为，由yx2，得y|xx0x，即过点P的切线的斜率为x，又切线过点P，若x02，则x，解得x01，此时切线的斜率为1；若x02，则切线的斜率为4故所求的切线方程是yx2或y4(x2)，即3x3y20或12x3y1609已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为 9答案xy10解析点(0，1)不在曲线f(x)xln x上，设切点为(x0，y0)又f(x)1lnx，直线l的方程为y1(1ln x0)x由解得x01，y00直线l的方程为yx1，即xy1010设函数f(x)fx22xf(1)ln x，曲线f(x)在(1，f(1)处的切线方程是()A5xy40B3xy20Cxy0Dx110答案A解析因为f(x)fx22xf(1)ln x，所以f(x)2fx2令x得f2f22f(1)，即f(1)1又f(1)f2，所以f3，所以f(1)2f2f(1)6215所以曲线在点(1，f(1)处的切线方程为y15(x1)，即5xy4011我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算设f(x)ln(1x)，则曲线yf(x)在点(0，