专题01导数的运算1基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q，0)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)ax(a0且a1)f(x)axln af(x)exf(x)exf(x)logax(a0且a1)f(x)f(x)ln xf(x)2导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有cf(x)cf(x)；f(x)g(x)f(x)g(x)；f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(g(x)0)；3复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)与ug(x)的复合函数，记作yf(g(x)(2)复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积【方法总结】导数运算的原则和方法基本原则：先化简、再求导；具体方法：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；(6)复合函数：由外向内，层层求导【例题选讲】例1求下列函数的导数：(1)yx2sin x；(2)y；(3)yxsincos；(4)yln(2x5)解析(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x(2)y(3)yxsincosxsin(4x)xsin4x，ysin 4xx4cos 4xsin 4x2xcos 4x(4)令u2x5，yln u则y(ln u)u2，即y例2(1) (2020全国)设函数f(x)若f(1)，则a_答案1解析f(x)，则f(1)，整理可得a22a10，解得a1(2)已知函数f(x)的导函数为f(x)，f(x)2x23xf(1)ln x，则f(1) 答案解析f(x)2x23xf(1)ln x，f(x)4x3f(1)，将x1代入，得f(1)43f(1)1，得f(1)f(x)2x2xln x，f(1)2(3)已知f1(x)sin xcos x，fn1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，则f2 022(x)等于()Asin xcos xBsin xcos xCsin xcos xDsin xcos x答案C解析f1(x)sin xcos x，f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)f2(x)sin xcos x，f4(x)f3(x)cos xsin x，f5(x)f4(x)sin xcos x，fn(x)的解析式以4为周期重复出现，2 02245052，f2 022(x)f2(x)cos xsin x故选C(4)(多选)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f(x)(f(x)，若f(x)0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数以下四个函数在上是凸函数的是()Af(x)sin xcos xBf(x)ln x2xCf(x)x32x1Df(x)xex答案AB解析对于A：f(x)cos xsin x，f(x)sin xcos x，x，f(x)0，f(x)在上是凸函数，故A正确对于B：f(x)2，f(x)0，故f(x)在上是凸函数，故B正确；对于C：f(x)3x22，f(x)6x0，故f(x)在上不是凸函数，故C错误；对于D：f(x)(x1)ex，f(x)(x2)ex0，故f(x)在上不是凸函数，故D错误故选AB(5)已知f(x)的导函数为f(x)，若满足xf(x)f(x)x2x，且f(1)1，则f(x)的解析式可能是()Ax2xln xxBx2xln xxCx2xln xxDx22xln xx答案C解析由选项知f(x)的定义域为(0，)，由题意得1，即1，故xln xc(c为待定常数)，即f(x)x2(ln xc)x又f(1)1，则c0，故选C【对点训练】1下列求导运算正确的是()A1B(log2x)C(5x)5xlog5xD(x2cos x)2xsin x1答案B解析(log2x)，故B正确2函数yxcos xsin x的导数为()Axsin xBxsin xCxcos xDxcos x2答案B解析yxcos xx(cos x)(sin x)cos xxsin xcos xxsin x3(多选)下列求导运算正确的是()A(sin a)cos a(a为常数)B(sin 2x)2cos 2xC()D(exln x2x2)ex4x3答案BCD解析a为常数，sin a为常数，(sin a)0，故A错误由导数公式及运算法则知B，C，D正确，故选BCD4已知函数f(x)，则f(x) 4答案解析f(x)(x2)(2)x35已知函数f(x)的导函数为f(x)，记f1(x)f(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)(nN*)，若f(x)xsin x，则f2 019(x)f2 021(x)()A2cos xB2sin xC2cos xD2sin x5答案D解析由题意，f(x)xsin x，f1(x)f(x)sin xxcos x，f2(x)f1(x)cos xcos xxsin x2cos xxsin x，f3(x)f2(x)3sin xxcos x，f4(x)f3(x)4cos xxsin x，f5(x)f4(x)5sin xxcos x，据此可知f2 019(x)2 019sin xxcos x，f2 021(x)2 021sin xxcos x，所以f2019(x)f2 021(x)2sin x，故选D6f(x)x(2 021ln x)，若f(x0)2 022，则x0等于()Ae2B1Cln 2De6答案B解析f(x)2 021ln xx2 022ln x，又f(x0)2 022，得2 022ln x02 022，则ln x00，解得x017已知函数f(x)excos x，若f(0)1，则a 7答案2解析f(x)excos xexsin xexcos xexsin x，f(0)a11，则a28已知函数f(x)ln(2x3)axex，若f(2)1，则a 8答案e2解析f(x)(2x3)aexax(ex)aexaxex，f(2)2ae22ae22ae21，则ae29已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足关系式f(x)x23xf(2)ln x，则f(2)的值等于()A2B2CD9答案C解析因为f(x)x23xf(2)ln x，所以f(x)2x3f(2)，所以f(2)223f(2)，解得f(2)10已知f(x)x22xf(1)，则f(0)_10答案4解析f(x)2x2f(1)，f(1)22f(1)，f(1)2，f(0)2f(1)2(2)411设函数f(x)在(0，)内可导，其导函数为f(x)，且f(ln x)xln x，则f(1) 11答案1e解析因为f(ln x)xln x，所以f(x)xex，所以f(x)1ex，所以f(1)1e11e12已知f(x)是函数f(x)的导数，f(x)f(1)2xx2，则f(2)()ABCD212答案C解析因为f(x)f(1)2xln 22x，所以f(1)f(1)2ln 22，解得f(1)，所以f(x)2xln 22x，所以f(2)22ln 22213(多选)若函数f(x)的导函数f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为()Af(x)3cos xBf(x)x3xCf(x)xDf(x)exx13答案BC解析对于A，f(x)3cos x，其导数f(x)3sin x，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；对于B，f(x)x3x，其导数f(x)3x21，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于C，f(x)x，其导数f(x)1，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于D，f(x)exx，其导数f(x)ex1，其导函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意14f(x)x3，其导函数为f(x)，则f(2020)f(2020)f(2019)f(2019)的值为()A1B2C3D414答案C解析f(x)3x2，f(x)3x2，所以f(x)为偶函数，f(2019)f(2019)0，因为f(x)f(x)x3x33，所以f(2020)f(2020)f(2019)f(2019)3故选C15已知f(x)ax4bcos x7x2若f(2 020)6，则f(2 020)_