专题05含参函数的单调性讨论【方法总结】分类讨论思想研究函数的单调性讨论含参函数的单调性，其本质就是讨论导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般来说需要进行四个层次的分类：(1)最高次幂的系数是否为0，即“是不是”；(2)导函数是否有变号零点，即“有没有”；(3)导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内，即“在不在”；(4)导函数的变号零点之间的大小关系，即“大不大”牢记：十二字方针“是不是，有没有，在不在，大不大”考点一导主一次型【例题选讲】例1已知函数f(x)xalnx(aR)，讨论函数f(x)的单调性解析f(x)的定义域为(0，)，f(x)1，令f(x)0，得xa，当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，f(x)在(0，)上单调递增，当a0时，x(0，a)时，f(x)0，综上，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增，当a0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增【对点训练】1已知函数f(x)alnxax3(aR)讨论函数f(x)的单调性1解析函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)，令f(x)0，得x1，当a0时，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当a0)，当a0时，f(x)a0，即函数f(x)在(0，)上单调递增当a0时，令f(x)a0，可得x，当0x0；当x时，f(x)0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减考点二导主二次型【方法总结】此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题对于二次三项式含参问题，有如下处理思路：(1)首先需要考虑二次项系数是否含有参数如果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论；(2)其次考虑二次三项式能否因式分解，如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点是否在定义域内，如果x1，x2都在定义域内，则讨论个零点x1，x2的大小；如果二次三项式不能因式分解，这表明不一定存在零点，需讨论判别式0和0分类讨论；【例题选讲】命题点1是不是有没有在不在例2(2021全国乙节选)已知函数f(x)x3x2ax1讨论f(x)的单调性解析由题意知f(x)的定义域为R，f(x)3x22xa，对于f(x)0，(2)243a4(13a)当a时，f(x)0，f(x)在R上单调递增；当a0，则xx1或xx2；令f(x)0，则x1xx2所以f(x)在(，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，)上单调递增综上，当a时，f(x)在R上单调递增；当a0讨论f(x)的单调性4解析由题意知，f(x)的定义域是(0，)，导函数f(x)1.设g(x)x2ax2，二次方程g(x)0的判别式a28.当0，即0a0都有f(x)0此时f(x)是(0，)上的单调递增函数当0，即a2 时，仅对x有f(x)0，对其余的x0都有f(x)0此时f(x)是(0，)上的单调递增函数当0，即a2时，方程g(x)0有两个不同的实根x1，x2，0x10，试讨论函数f(x)的单调性 解析因为f(x)ln xax2(2a1)x，所以f(x)由题意知函数f(x)的定义域为(0，)，令f(x)0得x1或x，若，由f(x)0得x1或0x，由f(x)0得x1，即0a0得x或0x1，由f(x)0得1x，即函数f(x)在(0，1)，上单调递增，在上单调递减；若1，即a，则在(0，)上恒有f(x)0，即函数f(x)在(0，)上单调递增综上可得，当0a时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，)上单调递增例6已知函数f(x)x2eax1(a是常数)，求函数yf(x)的单调区间 解析根据题意可得，当a0时，f(x)x21，函数在(0，)上单调递增，在(，0)上单调递减当a0时，f(x)2xeaxx2(a)eaxeax(ax22x)因为eax0，所以令g(x)ax22x0，解得x0或x(1)当a0时，函数g(x)ax22x在(，0)和上有g(x)0，即f(x)0，函数yf(x)单调递减；函数g(x)ax22x在上有g(x)0，即f(x)0，函数yf(x)单调递增(2)当a0，即f(x)0，函数yf(x)单调递增；函数g(x)ax22x在上有g(x)0，即f(x)0，函数yf(x)单调递减综上所述，当a0时，函数yf(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，0)；当a0时，函数yf(x)的单调递减区间为(，0)，单调递增区间为；当a0时，函数yf(x)的单调递增区间为，(0，)，单调递减区间为例7已知函数f(x)(a1)lnxax2(aR)讨论f(x)的单调性 解析f(x)的定义域为(0，)，且f(x)令f(x)0，得x1或x当a0时，ax10，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增；当0a1时，f(x)在(0，1)上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；当a1时，f(x)在(0，)上单调递减；当a1时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，在(1，)上单调递减例8已知函数f(x)aln(x1)axx2，讨论f(x)在定义域上的单调性 解析f(x)a2x，令f(x)0，得x0或x，又f(x)的定义域为(1，)，当1，即当a0时，若x(1，0)，f(x)0，则f(x)单调递增；若x(0，)，f(x)0，则f(x)单调递减当10，即2a0时，若x，f(x)0，则f(x)单调递减；若x，f(x)0，则f(x)单调递增；若x(0，)，f(x)0，则f(x)单调递减当0，即a2时，f(x)0，f(x)在(1，)上单调递减当0，即a2时，若x(1，0)，f(x)0，则f(x)单调递减；若x，f