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专题14两个经典不等式的应用 逻辑推理是得到数学结论,构建数学体系的重要方式,是数学严谨性的基本保证利用两个经典不等式解决问题,降低了思考问题的难度,优化了推理和运算过程1对数形式:x1lnx(x0),当且仅当x1时,等号成立2指数形式:exx1(xR),当且仅当x0时,等号成立进一步可得到一组不等式链:exx1x1lnx(x0,且x1)注意:选填题可直接使用,解答题必须先证明后再使用考点一两个经典不等式的应用1对数形式:x1lnx(x0),当且仅当x1时,等号成立2指数形式:exx1(xR),当且仅当x0时,等号成立【例题选讲】例1(1)已知对任意x,都有xe2xaxx1lnx,则实数a的取值范围是_(2)已知函数f(x)exax1,g(x)ln xax1,其中0a0,则实数a的取值范围是_例2函数f(x)ln(x1)ax,g(x)1ex(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若f(x)g(x)在x0,)上恒成立,求实数a的取值范围例3已知函数f(x)exa(1)若函数f(x)的图象与直线l:yx1相切,求a的值;(2)若f(x)lnx0恒成立,求整数a的最大值例4已知函数f(x)x2(a2)xalnx(aR)(1)求函数yf(x)的单调区间;(2)当a1时,证明:对任意的x0,f(x)exx2x2例5已知函数f(x)x1a lnx(1)若f(x)0,求a的值;(2)证明:对于任意正整数n,0时,f(x)(xae)x5已知函数f(x)alnx1(aR)(1)若g(x)xf(x),讨论函数g(x)的单调性;(2)若t(x)x2x,h(x)ex1(其中e是自然对数的底数),且a1,x(0,),求证:h(x)t(x)f(x)6已知函数f (x)kxlnx1(k0)(1)若函数f (x)有且只有一个零点,求实数k的值;(2)证明:当nN*时,1ln(n1)考点二经典不等式的变形不等式的应用【例题选讲】例1证明下列不等式(1)ex1x;(2)ln(x1)x;(3)0);(4)exln(x2)0例2(1)已知函数f(x),则yf(x)的图象大致为() (2)函数f(x)ex1ax2(a1)xa2在(,)上单调递增,则实数a的取值范围是()A1B1,1C0,1D1,0例3设函数f(x)lnxx1(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明:当x(1,)时,1x例4已知函数f(x)ln(1x)(1)求证:当x(0,)时,f(x)x;(2)已知e为自然对数的底数,证明:nN*,0时,证明:f(x)2已知函数f(x)xlnx,g(x)x1(1)求F(x)g(x)f(x)的单调区间和最值;(2)证明:对大于1的任意自然数n,都有lnn
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