第06讲 正方形的判定模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测1.掌握平行四边形、矩形、菱形与正方形的概念之间的从属关系及性质之间的区别；2能熟练应用正方形的性质、判定等知识进行有关证明和计算。一、正方形的判定1.定义法：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形；2.先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；3.先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.二、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：三、中点四边形：顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.考点一：正方形的判定定理理解例1（23-24八年级下北京期中）下列命题中，能判断四边形是正方形的是（）A对角线互相垂直的矩形B对角线相等的平行四边形C对角线互相垂直的平行四边形D对角线互相垂直平分的菱形【答案】A【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟知正方形的判定定理是解题的关键【详解】解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，符合题意；B、对角线相等的平行四边形不一定是正方形，例如矩形也满足条件，不符合题意；C、对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形，不符合题意；D、对角线相等的菱形是正方形，不符合题意；故选：A【变式1-1】（23-24八年级下海南省直辖县级单位期中）在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转化的条件，其中填写错误的是（）A对角相等B对角线互相垂直C有一组邻边相等D对角线相等【答案】A【分析】本题考查矩形，菱形，正方形的判定，关键是熟练掌握矩形，菱形，正方形的判定方法由矩形，菱形，正方形的判定，即可判断【详解】解：A、对角相等的平行四边形不一定是矩形，故A符合题意；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，故B不符合题意；C、有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，故C不符合题意；D、对角线相等的菱形是正方形，正确，故D不符合题意故选：A【变式1-2】（2024八年级下安徽专题练习）如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A当时，它是菱形B当时，它是菱形C当时，它是矩形D当时，它是正方形【答案】D【分析】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形【详解】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意；B、四边形是平行四边形，四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意；C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意；D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意故选：D【变式1-3】（23-24八年级下云南昆明期中）下列命题中，真命题的个数是（）平行四边形是轴对称图形，也是中心对称图形；一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线相等且互相平分的四边形是菱形；四个内角都相等的四边形是矩形；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形A2B3C4D5【答案】B【分析】本题考查了真假命题，平行四边形的性质与判断，矩形、菱形、正方形的判定等知识，利用平行四边形的性质判断；利用平行四边形的判定判断、；利用矩形、菱形的判定判断、；利用正方形的判定判断即可【详解】解：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故原命题是假命题；一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故原命题是假命题；两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故原命题是真命题；对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故原命题是假命题；四个内角都相等的四边形是矩形，故原命题是真命题；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原命题是真命题故选：B考点二：添一个条件使四边形是正方形例2.（2024陕西榆林三模）在矩形中，对角线与交于点Q，请添加一个条件： 使得矩形是正方形（只写一个）【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查正方形的判定，根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形添加条件【详解】解：根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：或或或或，故答案为：（答案不唯一）【变式2-1】（21-22八年级下黑龙江齐齐哈尔期中）如图，在菱形中，对角线相交于点O，不添加任何辅助线，请你添加一个条件 ，使四边形是正方形（填一个即可）【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查了正方形的判定：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角根据有一个直角的菱形为正方形添加条件【详解】解：四边形为菱形，当时，四边形为正方形故答案为：【变式2-2】（22-23八年级下山东济南阶段练习）如图，在中，分别是的中点，连接，要使四边形是正方形，只需增加一个条件为 【答案】【分析】根据中位线定理，和一组邻边相等的矩形是正方形添加条件即可【详解】分别是的中点，四边形是矩形，四边形是正方形，故，故添加的条件是：【点睛】本题考查了中位线定理，和一组邻边相等的矩形是正方形，熟练掌握中位线定理和正方形的判定定理是解题的关键【变式2-3】（21-22八年级下全国单元测试）如图，、分别是、的中点要使四边形是正方形，、应满足的条件是 【答案】且【分析】依据条件先判定四边形为平行四边形，再根据又，得出四边形为菱形，再根据，即可得到菱形是正方形【详解】应满足的条件是：且，理由：、分别是、的中点，在中，是的中位线，同理，同理，则且，四边形为平行四边形，又，四边形为菱形，菱形为正方形，故答案为：且【点睛】此题考查了中点四边形的性质、三角形中位线定理以及正方形的判定，注意三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键考点三：证明四边形是正方形例3. （2024陕西咸阳三模）如图，在中，平分交于点，过点作于点，于点，求证：四边形为正方形【答案】详见解析【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，正方形的判定，等腰三角形的判定，角平分线的性质等知识点，由平分交于点P，得出，由过点P作于点M，于点N和得出四边形为矩形，再由即可得出结论，熟练掌握矩形的判定和性质是解决此题的关键【详解】平分交于点P，过点P作于点M，于点N， ，四边形为矩形，四边形为正方形【变式3-1】（23-24八年级下山东济宁期中）如图，在中，点是边的中点，过点，分别作与的平行线，相交于点，连接，与交于点(1)求证：四边形是矩形；(2)当时，求证：四边形是正方形【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（）先由，点是边的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出，再由，得出四边形为平行四边形，那么，又，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形，又，根据有一个角是直角的平行四边形即可证明四边形是矩形；（）由矩形的性质可得，又由（）知四边形是矩形，根据对角线互相垂直的矩形是正方形即可证明四边形是正方形【详解】（1）证明：，点是边的中点，四边形为平行四边形，又，四边形是平行四边形，四边形是矩形；（2）证明：，即，由（）知四边形是矩形，四边形是正方形【点睛】本题考查了正方形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键【变式3-2】（23-24八年级下内蒙古赤峰期中）如图，在中，点是边的中点，连接，过点作的平行线，并在此直线上截取，连接(1)判断四边形的形状并请说明理由；(2)直接写出当满足什么条件时，四边形是正方形【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析(2)当是等腰直角三角形时，四边形是正方形【分析】（1）说明，证明四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得到，即可得证；（2）当是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得出，即可得证【详解】（1）解：四边形是菱形理由：，点是边的中点，四边形是平行四边形，点是边的中点，平行四边形是菱形；（2）当是等腰直角三角形时，四边形是正方形理由：，且是等腰直角三角形，点是边的中点，由（1）知：四边形是菱形，四边形是正方形【点睛】本题考查平行四边形的判定，正方形的判定，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形三线合一性质熟练掌握平行四边形的判定及特殊平行四边形的判定，并能进行推理论证是解题的关键【变式3-3】（2024八年级下浙江专题练习）在中，的平分线交于点D，过点B作交的平分线于点E(1)求证：四边形是矩形；(2)当满足什么条件时，四边形是正方形【答案】(1)见解析(2)，见解析【分析】（1）由，平分，可得，由是的外角平分线，可得，则，即，证明，进而可证四边形是矩形；（2）由，平分，可得，则，进而结论得证【详解】（1）证明：，平分，是的外角平分线，即，又，四边形是矩形；（2）解：当时，四边形是正方形理由如下：，平分，矩形为正方形【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线，矩形的判定，正方形的判定等知识熟练掌握等腰三角形的判定与性质，角平分线，矩形的判定，正方形的判定是解题的关键考点四：与正方形有关的作图问题（含无刻度作图）例4. （23-24八年级下江苏南京期中）已知：如图，正方形中，点、分别是边和上的点，且满足(1)不用圆规，请只用不带刻度的直尺作图：在边和上分别作出点G和点H，（保留作图痕迹，不写做法作法）；(2