专题03 平行四边形知识点 1 ： 平行线的性质平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形的表示：用符号“”表示，平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.平行四边形的性质：1)对边平行且相等； 2)对角相等、邻角互补； 3)对角线互相平分；4)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心.【解题技巧】1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长4）如图，AE平分BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到ABE为等腰三角形，即AB=BE5）如图，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得SBEC=SABE+SCDE6）如图，根据平行四边形的面积的求法，可得AEBC=AFCD知识点2： 平行线的判定平行四边形的判定定理：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形【解题技巧】一般地，要判定一个四边形是平行四边形有多种方法，主要有以下三种思路：1）当已知条件中有关于所证四边形的角时，可用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明；2）当已知条件中有关于所证四边形的边时，可选择“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”或“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”或“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明；3）当已知条件中有关于所证四边形的对角线时，可选择“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明题型归纳【题型1 判断能否构成平行四边形】 1（23-24八年级下山东日照期中）如图，能判定四边形是平行四边形的是（）A，B，C，D，【答案】C【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键【详解】解：A、由，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意；B、由，不能判定四边形是平行四边形，例如等腰梯形符合此条件，不符合题意；C、由，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，符合题意；D、由，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意；故选：C2（23-24八年级下广东广州阶段练习）在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（）A，B，C，D，【答案】C【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法逐项判断即可作答【详解】解：A. ，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意；B. ，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意；C. ，四边形为平行四边形，故本项符合题意；D. ，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意；故选：C3（2024河北沧州二模）李明画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形（1）（3）是其作图过程：（1）作；（2）作；（3）记射线与射线的交点为C，则四边形即为所求在李明的作法中，不可用来判定四边形为平行四边形的条件是（）A两组对边分别平行B两组对边分别相等C对角线互相平分D一组对边平行且相等【答案】C【分析】本题考查的是平行四边形的判定，关键在于平行四边形的判定定理的运用.根据做出的角相等，可得，以及可证明，进而运用平行四边形的判定定理进行判定.【详解】解：根据李明的做法，可知：，可得,.又，,.A选项：，两组对边分别平行的四边形是平行四边形.B选项：,，两组对边分别相等的四边形是平行四边形.D选项：，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.故答案选：C.【题型2 添加一个条件证明平行四边形】4（23-24八年级下吉林松原期中）如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（）ABCD【答案】C【分析】此题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理【详解】、由可得，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意； 、由，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意；、，又，四边形是平行四边形，符合题意；、由，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意；故选：5（2022黑龙江齐齐哈尔一模）如图，点、在的对角线上，连接、，添加一个条件使四边形是平行四边形，那么这个条件是 （只填一个即可）【答案】（答案不唯一）【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可求解【详解】解：添加：，理由如下：连接交于点，如图，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形故答案为：（答案不唯一）6（23-24八年级下北京东城期中）如图，在等边中，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动如果点同时出发，设运动时间为，则当 时，以为顶点的四边形是平行四边形【答案】或【分析】本题考查了平行四边形的判定、一元一次方程的应用，分两种情况：当点在的右侧时；当点在的左侧时；由当时，四边形是平行四边形，建立一元一次方程，解方程即可得出答案【详解】解：当点在的右侧时，由题意得：，则，当时，四边形是平行四边形，即，解得：；当点在的左侧时，由题意得：，则，当时，四边形是平行四边形，即，解得：；综上所述，当或时，以为顶点的四边形是平行四边形，故答案为：或【题型3 证明四边形是平行四边形】 7（2024江苏淮安一模）如图，四边形中，垂足分别为点(1)请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形为平行四边形，你添加的条件是 (2)添加了条件后，请证明四边形为平行四边形【答案】(1)；(答案不唯一)(2)证明见解析【分析】（）根据平行四边形的判定添加条件即可；（）证明，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证；本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键【详解】（1）解：（）可添加的条件是，故答案为： (答案不唯一)；（2）（）证明：， ，四边形为平行四边形8（22-23八年级上山东烟台期末）如图，四边形为平行四边形，E为上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接H为的中点，连接(1)求证：四边形为平行四边形；(2)若，求的度数【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由平行四边形的性质得出；证明是的中位线，得出，证出，由平行四边形的判定方法即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得出，再由等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理即可得出结果【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，是的中位线，H为的中点，四边形是平行四边形；（2）解：，【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键9（21-22八年级下重庆丰都期中）如图，是的角平分线，点E，F分别在，上，且，求证：四边形是平行四边形【答案】见解析【分析】本题考查了平行四边形的判定、等腰三角形的判定，平行线的性质，解题的关键是牢记平行四边形的判定定理已知是的角平分线， ，易证；又由，可得，即可证得四边形是平行四边形【详解】证明：是的角平分线， ， ， ， ， ； ， ， 四边形是平行四边形10（22-23八年级下广西桂林期中）如图，在平行四边形中，点E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F(1)求证：；(2)连接，试判断四边形的形状，并说明理由【答案】(1)详见解析(2)平行四边形，详见解析【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键（1）由平行四边形的性质得出，根据即可判定；（2）由可得，再由，可得四边形是平行四边形【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，点E是边的中点，在和中，；（2）解：平行四边形如图，四边形是平行四边形【题型4 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】11（22-23八年级下江苏苏州阶段练习）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A的坐标为(1)画出关于点O对称的；(2)绕点O顺时针旋转后得到，则点的坐标为_；(3)若第一象限内存在点D，使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为_【答案】(1)见解析；(2)(3)【分析】（1）作出的顶点A，B，C关于点O的对称点，依次连接即可得到；（2）作出绕点O顺时针旋转后得到，即可得到点的坐标；（3）分情况讨论：以为平行四边形的对角线；以为平行四边形的对角线；以为平行四边形的对角线，分别求出点D的坐标，再根据点D在第一象限进行取舍即可解答【详解】（1）如图，为所求图形；（2）如图，为绕点O顺时针旋转后得到的，则点的坐标为；故答案为：（3）分情况讨论：以为平行四边形的对角线，则点D的坐标为；以为平行四边形的对角线，则点D的坐标为；以为平行四边形的对角线，则点D的坐标为点D在第一象限，点D的坐标为【点睛】本题考查坐标与图形的变化，中心对称，旋转，平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标特点，旋转的性质，平行四边形的判定12（22-23八年级下浙江金华期中）已知平面直角坐标系中，点，点(1)直线AB的解析式：_(2)AB的中点C的坐标是_(3)点D是平面内的任意一点，若以O，C，B，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是_.【答案】(1)(2)(3)或或【分析】（1）设直线的解析式为，把点，点代入，得到二元一次方程组，解方程组即得；（2）根据，运用中点坐标公式得到线段的中点；（3）设，当为平行四边形的边时，根据，得到，根据，得到，或，得到，；当为平行四边形的对角线时，根据，得到线段的中点为，根据，得到【详解】（1）设直线的解析式为：，把点，点代入，得，解得，；故答案为：；（2），；故答案为：；（3）设，当为平行四边形的边时，也为平行四边形