用二分法求方程的近似解【知识点梳理】知识点一：二分法1、二分法对于区间,可上图象连续不断且g)e)o的函数/(X),通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法.2、用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数y=(x)定义在区间。上，求它在。上的一个零点X O的近似值X，使它满足给定的精确度.第一步：在。内取一个闭区间 旬也 三。，使f()与/(4)异号，即/(4)f(4)o，零点位于区间%闻 中 第二步：取区间%,%的中点，则此中点对应的坐标为Xo=4 +万(为一%)=5(g +)计算/(/)和/(%),并判断：如果f(%)=0,则/就 是 的 零 点，计算终止；如果/(4)(x()0,则零点位于区间,x0,则零点位于区间区 也 中，令第三步：取区间 巧,4 的中点，则此中点对应的坐标为百=q+g(4-a J=；(q+4)-计算f()和 q)，并判断：如果/(x J=O,则1就是/(x)的零点，计算终止；如果)O,则零点位于区间 x,b 中,令%=为 也=4；继续实施上述步骤，直到区间%,勿,函数的零点总位于区间 4,上，当凡和 按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y=x)的近似零点，计算终止.这时函数)，=x)的近似零点满足给定的精确度.知识点诠释：(1)第一步中要使：区间长度尽量小；/、/S)的值比较容易计算且/()S)0,故用二分法求其零点，可以取得初始区间是(1,2).故 选:B.变 式 L (2022全国高一课时练习)下列函数中不能用二分法求零点近似值的是()A.f ()=3x 1 B.f (x)=3C.f ()=IXl D.f (x)=In x【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：对于4,Q)=3x1在 R 上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；对于B,/()=V 在 R 上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；对于C,/(x)=I X 虽然也有唯一的零点，但函数值在零点两侧都是正号，故不能用二分法求零点：对于C,f (x)=InX在(0,+oo)上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；故选：C.变式2.(2022江苏高一单元测试)下列函数一定能用“二分法”求其零点的是()A.y=kx+b(k,6 为常数，JLO)B.y=ax1+bx+c(a,b,C 为常数，JLaO)C.y=2xkD.y=-（k0,我为常数）X【答案】A【解析】由指数函数与反比例函数的性质可知其没有函数零点，故 C，。不能用 二分法 求其零点，故 Cz）错误；对于二次函数y=02+6x+c Ca,h,C为常数，Jla O ）,当A=-4 c 0 时，不能用二分法，故 8 错误；由于一次函数一定是单调函数，且存在函数零点，故可以用“二分法 求其零点，故 A 选项正确.故选：A变式3.（2022.江苏.高一专题练习）用二分法求函数零点的近似值适合于（）A.变号零点 B.不变号零点C.都适合 D.都不适合【答案】A【解析】由零点存在定理可知，二分法求函数零点的近似值适合于在零点两边的函数值异号，即适用于变号零点.故选：A.【方法技巧与总结】判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因 此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.题型二：用二分法求方程近似解的过程例 4.（2022,甘肃高台县第一中学高一期中）已知函数/（x）=In（X+2）+2 x-z的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：由二分法，方 程 n(x+2)+2x-机=0 的近 似 解(精确度为0.0 5)可 能 是()X00.50.531250.56250.6250.751“X)-1.307-0.084-0.0090.0660.2150.5121.099A.0.625 B.-0.009 C.0.5625 D.0.066【答案】C 解析】由题意得/O)=In(X+2)+2x-加在区间(0,+)上单调递增，设方程In(X+2)+2X-W=O的解的近似值为x0,由表格得/(0.53125)/(0.5625)0,所以 XOe(0.53125,0.5625),因为 10.53125-0.56251=0.03125 0.05,所以方程的近似解可取为0.5625.故选：C.例 5.(2022.全国高一课时练习)若函数/(x)=d+V-2 x-2 的部分函数值如下，那么方程V+W 2x-2=0 的一个近似根(精确到0.1)可 以 是()川广21.5)=0.625/(1.25)-0.984/(1.375)-0.260/(1.4375)0.162A.1.2-B.1.3C.1.4【答案】C【解析】因为 1375)0,且 1.375与 1.4375精确到().1 的近似值都为1.4,所以原方程的一个近似根为1.4.故选：C.例 6.(2022四川广安二中高一期中)函数F(X)的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：A)=-2/(1.5)=0.625./(1.25)-0.984/(1.375)=-0.260/(1.438)=0.165/(1.4065)=-0.052那么方程的一个近似解(精确度为0 1)为()A.1.5B.1.25 C.1.41 D.1.44【答案】C【解析】由所给数据可知，函数f()在区间(LL5)内有一个根,因为/(1.5)=0.625 0,/(1.25)=-0.984 0.1,所以不满足精确度，继续取区间中点1.375,因为/(1.375)=-0.260 0,所以根在区间(1375,1.5),因为 1.5-1.375=0.125 0.1,所以不满足精确度，继续取区间中点1.438,因为/(1.438)=0.165 0,/(1.375)=-0.260 0,所以根在区间(1.375,1.438)内，因为|1.438 1.375=0.063 0.1 满足精确度，因为/(1.4065)=-0.052 0,所以根在(1.4065,1.438)内，所以方程的个近似解为1.41,故选：C变式4.(2022 全 国 高一课时练习)用二分法研究函数/(x)=5+8x3-1的零点时，第一次经过计算得/(O)0,则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为()A.(0,0.5),/(0.125)B.(0,0.5),/(0.375)C.(0.5,1),/(0.75)D.(0,0.5),/(0.25)【答案】。【解析】因为F(O)/(05)0,由零点存在性知：零点不 0,。5),根据二分法，第 二 次 应 计 算 等”)即/(025),故选：D.变式5.(2022 全国高一课前预习)方程Y-2+3x-6=0在区间-2,4 上的根必定在()5 1 71 7 5A.-2,1 B.?4 上 C.1,-上 D.上l j L2 L 4|_4 2_【答案】D【解析】解析：设/(X)=V-2+3 x-6,则/(-2)=-8-8-6-6 =-28 0,_?+4r 1因为二=1且/(I)=I-2+3-6=-4 0,所以函数/(X)在 后 上必有零点.2 2 2 X 2 2 o _ 25 又因为1 +建 7 且“3Y 2X(少+3-6 =T 0,所以函数F a)在 j上必有零点.lr 4 4 4 4 64 14 27 5即方程的根必在上.故选：D变式6.(2022.全国高一单元测试)若函数/(x)=d-x-l 在区间 1,I.5 内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下：那么方程V x T=。的一个近似根(精确度为0.1)可 以 为()X11.51.251.3751.3125-10.875-0.29690.2246-0.05151A.I.3 B.1.32 C.1.4375 D.1.25【答案】B【解析】由)(l3125)0,且 f(x)为连续函数，由零点存在性定理知：区间(1.3125,1.375)内存在零点，故方程V-X-I=O的一个近似根可以为L 32,B 选项正确，其他选项均不可.故选：B变式7.(2022.内蒙古 呼和浩特市教育教学研究中心高一期末)用二分法求方程的近似解，求得函数 x)=V+2 x-9 的部分函数值数据如下：/(l)=-6,/(2)=3,/(1.5)=-2.625,/(1.75)=-0.6406,则方程V+2 x-9 =0 的一个近似根X所在区间为()A.(-0.6406,0)B.(1.75,2)C.(1.5,1.75)D.(1,1.5)【答案】B【解析】由题意，知/2)0 J(1.5)/O J(175)A 2)O,所以函数的零点在区间(175,2)内，即方程3+2x-9=0 的一个近似根X所在区间为(175,2)故选：B.变式8.(2022全国高一专题练习)用二分法求函数/(x)=In(X+l)+x-l 在区间 0,1 上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为()A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】开区间(0,1)的长度等于1 ,每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过此操作后，区间长度变为，用二分法求函数/(x)=In(X+l)+x 7 在区间(0,1)上近似解，要求精确度为OOl，0.01,解得z7,故选：C.变式9.(2022.全国.高一专题练习)函数/(x)的图象是连续不断的曲线,在用二分法求方程 x)=0 在(1,2)内近似解的过程可得/(l)0,/(1.2 5)0,则方程的解所在区间为().(1.25,1.5)B.(1,1.25)C.(1.5,2)D.不能确定【答案】【解析】因为/(125)(1.5)0,故方程/(x)=0 的解所在区间为(1.25,1.5).故选：A.变 式 10.(2022 广东珠海市斗门区第一中学高一阶段练习)若函数力=/+丁-2%-2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程3+/一 2-2=0 的一个近似解(精确度 0.0 4)为()川)=-2/(1.5)=0.625/(1.25)-).9847(1.375卜-0.260/(1.4375)0.162/(1.40625)-0.054.1.5 B.1.25 C.1.375 D.1.4375【答案】D【解析】由表格结合零点存在定理知零点在(140625,1.4375)上，区间长度为0.03125,满足精度要求，观察各选项，只有。中值L 4375是该区间的一个端点，可以作为近似解，故选：D.变 式11.(2022 全国高一课时练习)在用二分法求方程3+2x-10=0 在(1,2)上的近似解时，构造函数/(x)=3v+2 x-1 0,依次计算得/(1)=5 0,/(1.5)0,/(1.625)0,则该近似解所在的区间是()A.(1,1.5)B.(1.5,1.625)C.(1.625,1.75)D.(1.75,2)【答案】C【解析】根据已知f(l)=-5 0,/(1.5)0,/(1.625)0,/(2)=3 0,根据二分法可知该近似解所在的区间是(L625,1.75).故选：C.【方法技巧与总结】(1)依据图象估计零点所在的初始区间 孙(这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽可能的小，区间的端点尽量为整数).(2)取区间端点的平均数c,计算f(c),确定有解区间是(见C)还是(c,)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的长度符合精确度要求(这个过程中应及时检验所得区间端点差的绝对值是否达到给定的精确度)，才终止计算，得到函数零点的近似值(为了比较清晰地表达计算过程与函数零点所在的区间往往采用列表法).题型三：用二分法求函数零点的过程例 7.(2022江苏 南京师范大学附属中学江宁分校高一期中)用二分法研究函数/(x)=V+2 x-l的零点时，第一次计算，得/(0)0,第二次应计算/(%),则 演 等 于()A.1 B.-1 C.0.25 D.0.75【答案】C【解析】因为/(0