11.3余弦定理、正弦定理的应用一、单选题1.（2 0 2 1全国高二单元测试）在AABC1中，若 奶=2 jasin B，co sA =co sC，贝（1 AABC形状为（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形【答案】C【分析】首先利用正弦定理化边为角求出sin A的值，再结合A =C,以及三角形的内角和即可求出反C,进而可得正确选项.【详解】由正弦定理知：&=2 7?sin B,a=2 R sin A,则 3b=2 6 a sin 3 可化为：3 x 2 R sin 8 =2百 x 2 Hsin A sin 8 .因为 0。3 匕=0 _.CD故选：C【点 睛】结论点睛：解 一 个 三 角 形 需 要 已 知 三 个 几 何 元 素(边 和 角)，且至少有一个为边长，对于未知的几何元素，放到其它三角形中求解.6.(2 0 2 1陕西榆林市高三二模(文)我 国南宋著名数学家秦九韶在他的著作 数书九章卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有 三 斜.其 小 斜 一 十 三 里，中斜一十四里，大 斜 一 十 五 里.里 法 三 百 步.欲知 为 田 几 何.”题意是有一个三角形的沙田，其 三 边 长 分 别 为1 3里、1 4里、1 5里、1里 为3 00步，设6尺为1步，1尺=0.23 1米，则 该 沙 田 的 面 积 约 为()(结果精确至I J 0.1,参考数据：41 5.8 2=1 7 28 8 9.6 4)A.1 5.6平方千米 B.1 5.2平方千米 C.1 4.8平方千米 D.1 4.5平方千米【答 案】D【分 析】根 据 由海伦公式S=d p(p-a)(p-b)(p-c)即可得到沙田面积.【详 解】由海伦公式S=小p(p _ a)(p _ b)(p _ c)其 中 =g(a +c),a,c分别为三角形三边长，可 得：该沙田的面积=421 x 8 x 7 x 6 x(3 00 x 6 x 0.23 1)2=8 4x 41 5.82=8 4x 1 7 28 8 9.6 4=1 45227 29.7 6平方米句4.5 平方千米，故选：D7.(2021全国高一 课 时 练 习)如 图，设A,B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测 量 者 在A的同侧，在 所在的河岸边选定一点C,测 出AC的距离为机，Z B A C=a,4 A C B=B，则A，8两点间的距离为)(A.msinas in /3s in aB，s in(a +/?)C.ms in 0s in(a +/?)z s in(Q +B)s in a +s in 【答 案】C【分 析】在AABC中，由已知的条件直接利用正定理求解即可【详 解】在a A B C 中，A C=m,Z B A C=a,NB C A=0.N ABC=TIa(3.s in Z A B C=s in (TCa p)=s in (a +p).由正弦定理ACs in Z A B CA Bs in尸,得阵煞叫.故选：cA b+r*8.（2021全国高一课时练习）在 A B C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c o s?=-,则42 2 cA B C 是（）A.直角三角形 B.锐角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形【答 案】A【分 析】用降基公式变形后利用余弦定理得边的关系，从而判断出三角形形状.【详 解】,A,A b+c b,1 +c o s A b 1 ,b在 A A B C 中，因为 c o s-=,所 以-=F一,所以 c o s A=.2 2c 2 2c 2 c由余弦定理，知-2 hc故 选:A.-,所以b 2+c 2a 2=2b 2,即a 2+b 2=c 2,所以A A B C是直角三角形.二、多选题9.（2020全国高三专题练习）在锐角 A B C中，边长。=1,。=2,则边长c可能的取值是（）后A.V 2 B.2 C.27 2 D.江2【答案】B D【分析】根据c边最大边或匕最大边，利用余弦定理的变形形式即可求解.【详解】若C边为最大边，则c o s C（）,lab0,c 若b边为最大边，则c o s 8 0,.Y+c 2 一 户2 ac0,c 百，所以G c 6,所以边长c可能的取值是2、士.2故选：B D【点睛】本题考查了余弦定理的应用，考查了基本运算求解能力，属于基础题.1 0.（2020.河北张家口市.高三月考）在 至。中，角A、B、C的对边分别是。、b、C.下面四个结论正确的是（）A.a=2,4=3 0,则 A B C的外接圆半径是4B.若，一=一,则 A =45。c o s A s in BC.若/+从 d，则aABC一定是钝角三角形D.若A 8,贝ijc o s A c c o s B【答案】B C【分析】根据正弦定理可求出外接圆半径判断A,由条件及正弦定理可求出t a n 4 =1,可判断B,由余弦定理可判断C,取特殊角可判断D.【详解】由正弦定理知，-=4=2 R,所以外接圆半径是2,故A错误；s in A由正弦定理及-=一夕 一 可 得,把4=包 _g=1,即ta n A=l,由0cA e不，知A=4 5。，故B正c o s A s i n B c o s A s m B确；+h2-r2因为c o s C =L?c o s 故 D 错误.6 4故选：BCc c q A h1 1.（2 0 2 0全国高三专题练习）已知AABC的三个角A，B,C的对边分别为4,b,C,若-=一，c o s B a则该三角形的形状是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形【答案】D【分析】c o s A h c c q A s i n A?在AA5c中，根据三=二,利用正弦定理得y=J,然后变形为s i n 2 4 =s i n 2 B求解.c o s B a c o s B s i n A【详解】在AM C中，因 为 笔 上，c o s B a十44 口 c o s A s i n B由正弦定理得-=-,c o s B s i n A所以 s i n Ac o s A =s i n Bcos B,即 s i n 2 A =s i n 2 B,所以 2 A=2 8 或 2 A=2 3,71解得A=6或A+8=u.2故AABC是直角三角形或等腰三角形.故选：D.【点睛】本题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题.1 2.（2 0 2 0.江苏南京市.高二月考）如图，Z s ABC的三个内角A,B,C对应的三条边长分别是a,b,c,ZA B C为钝角，BD1 A B,c o s 2Z AB C ,片2,人=苧，则下列结论正确的有（）A.s i n A =-B.BD=254C.5CD=3DA D.C 8。的面积为不【答案】AC【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式可求c o s Z ABC的值，利用余弦定理求得c的值，再计算s i n A ,由同角的三角函数关系求出c o s A,根据直角三角形边角关系求出A ,B D，CO的值，再计算MCD的面积从而得解.【详解】7 7解：由 c o s 2 ABC =-,得：2 c o s 1 =-,25 25又角N A 3 C为钝角，3解得：c o s Z ABC =-,6 4 3由余弦定理,2 =a 2+c 2-2 a c c o s N ABC，得：=2+4-4 （-）,解得。=2,可知A A B C为等腰三角形，即A=C,所以c o s N ABC =-c o s 2 A=（1 一2 s i n?,解得s i n A 故A正确，5可得 c o s A =-sin2 A =在 RA A B。中，=C O SA,得 AD =B 可得 BDNAD,-AB”=&-4=1，故 B 错误,ADr厂 一3 C D =b _ AD =2 _=里,可得=工=3,可得5 诙=3 函，故。正确，55 D A 45 5所以A B C。的面积为5.8=.X。5 皿。=3*2乂 乎哼=3,故。错误.故选：AC.【点睛】利用正弦、余弦定理解三角形，利 用%cLx COx sinC求三角形的面积.三、填空题1 3.（2 0 1 9 上海嘉定区）如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CO的高度，。为楼顶，线段A 3的长度为6 0 0 m,在 A 处测得Z D AB=3 0，在 5处测得Z D B A =1 0 5，且此时看楼顶D的仰角N D B C=3 0，已知楼底C和 A、8 在同一水平面上，则此楼高度8=一 根（精确到1 相）【答案】2 1 2【分析】先由正弦定理求得A B 和 B D,根据R t a B C D 中因为N03C=3 O，可得C D=J B D=1 5 0 0 =2 1 2.【详解】BD _ AB在4A B D中，由正弦定理，得：贰帝飞胃80 5 匚 3 0）由 A B=6。，得：B D=600 30.=3 0 0 72 .在 R i a B C D 中，因为 ZD8 C=3 0，s i n 4 5所以 CD=BD=15072-212,故 答 案 为212.【点 睛】此题考查正弦定理，熟练掌握正弦定理即可，属于简单题目.14.（2021江苏高一课时练 习）如 图，A,B,C,。都在同一个与水平面垂直的平面内，B,。为两岛上的两 座 灯 塔 的 塔 顶.测 量船于 水 面A处 测 得8点 和。点的仰角分别为75。，3 0 ,于 水 面C处 测 得B点 和。点 的 仰 角 均 为60。，AC=0.1 k m.若贝ij B,。间距离为 km.【答 案】3 7 2+7 620【分 析】在aA B C中，应用 正 弦 定 理 求A B,由B D=A B,即 知B,D间距离.【详 解】在aABC 中，/BCA=60,NABC=75-60=15,AC=0.1 km,由正弦定理，得:ABsin ZBCAACsin NABC:.A8=xsm60=3/+(km)；又 BD=AB,sin 150 20B D=*娓 km.20故答案为:3&+C2015.（2021全国高一课时练习）如图，某 海 轮 以60海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东 60。方向，向北航行40分钟后到达B 点，测得油井P 在南偏东30。方向，海轮改为北偏东60。的航向再行驶 80分钟到达C 点，则 P,C 间的距离为 海里.【答案】4077【分析】由等腰三角形得A P，然后用余弦定理求得B P，再用勾股定理求得P C.【详解】因为 AB=40,ZBAP=120,Z A B P=30,所以/A P B=3 0,所以 AP=40,所以 BP2=AB2+AP2-2AP-AB-cos 120=402+402-2 x 4 0 x 4 0 x(-g)=4 0 2 x 3,所以 BP=4()V L又NPBC=90,B C=8 0,所以 PC2=BP2+B C 2=(40&)2+802=11 200,所以P C=4 0 j7 海里.故答案为：4077.16.(2021山东潍坊市高三一模)某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形Q 钻 的 半径为1(),ZPBA=ZQ AB=60,A Q =Q P=P B,若按此方案设计,工艺制造厂发现,当O P 最长E I 寸,该奖杯比较美观,此时ZAO B=.【分析】作 OM_LQP 交 QP于M，交 A8 于 C，且 0 C L A 3,设 NA0C=6,求出 A6、0 C，设AQ=QP=B P x,作 QE，A8 交 48 于 E，PE_LAB 交 AB 于 尸，可得出 x=10sin。,OM=OC+CN=10cos6+5 6 sin 6，由勾股定理可得OP-=OM2+MP2=(10cose+5 6 sin+(5sin 0)2 然后求最值可得答案.【详解】作OM J_QP交QP于M，交A 3于C,且O C L 4 B,设NAOC=6，则 AB=20sin6,0C=lOcos。，设A