第07讲一元二次方程目录题 型 过 关 练N题型01识别一元二次方程题 型15由根与系数的关系直接求代数式的题型02由一元二次方程的概念求参数的值值题型03一元二次方程的一般形式题 型16由根与系数的关系和方程的解通过题型04由一元二次方程的解求参数的值代换求代数式的值题型05由一元二次方程的解求代数式的值题 型17由方程两根满足关系求字母或代数题型06已知一元二次方程的一个根，求另式的值一个根题 型18与根与系数有关的新定义问题题型07选用合适的方法解一元二次方程题 型19构造一元二次方程求代数式的值题型08错看或错解一元二次方程问题题型20根与系数的关系和根的判别式的综题型09配方法的应用合应用题 型10判断不含字母的一元二次方程根的题型21分 裂（传播）问题情况题型22碰 面（循环）问题题 型11判断含字母的一元二次方程根的情题型23增长率问题况题型24营销问题题 型12由方程根的情况确定字母的值或取题型25与图形有有关的问题值范围题 型13应用根的判别式证明方程根的情况题 型14与根的判别式有关的新定义问题真翘实战练N重难创新练题型过关练题型0 1识别一元二次方程1.（2023泸县一诊）下列方程中，是一元二次方程的是（）A.2x2=5%1 B.x+-=2XC.（x 3）（x+1）=x2 5 D.3x y=5【答案】A【分析】利用一元二次方程的定义，即可找出结论.【详解】解:A.方程2M=5刀-1是一元二次方程，选项A 符合题意；B.方程乂+工=2是分式方程，选项B 不符合题意；XC.原方程整理得2 x-2=0,该方程为一元一次方程，选项C 不符合题意；D.3久 一 y=5是二元一次方程，选项D 不符合题意.故选：A.【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2 的整式方程是一元二次方程是解题的关键.2.（202.无为市一模）下列方程是一元二次方程的是（）A.x2-2 x +=0 B,y=2x2-3 x-lC.x2 1 0 D.y2 x+3 0【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解.【详解】解：A、分母含未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、含 2 个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C、是一元二次方程，故本选项符合题意；D、含 2 个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2 的整式方程是一元二次方程是解题的关键.题型0 2由一元二次方程的概念求参数的值1.（2022上湖南长沙九年级统考期末）若关于尤的方程（m-3）/+*-爪=0是一元二次方程，则相的取值范围是（）A.znW3 B.m=3 C.m 3 D.znWO【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义，方程二次项系数不等于零，求解即可.【详解】解：由题意，得“3加，nr/=3,故选：A.【点睛】本题考查一元二次方程的概念，一般地，形 如 加+%+。=0,a,b,c 是常数，且 a邦的方程是一元二次方程.2.（2023山东青岛 统考二模）关于x 的方程尤向T 3x+2=0是一元二次方程，则 a 的值为.【答案】3【分析】根据一元二次方程的定义得出|a|-1 =2,再求出a 即可.【详解】解：关于x的方程”T-3 x +2=0是一元二次方程，C L 1=2,解得：a=3.故答案为：3.【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，是一元二次方程必须同时满足三个条件：时整式方程，即等号两边都是整式；只含有一个未知数；未知数的最高次数是2.3.（2022西咸新区五模）若方程（TH-1）/+标=1是关于x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是.【答案】且 m0【分析】根据一元二次方程的定义进行解答即可.【详解】,方程（血-I）%2+后 光=1是关于x 的一元二次方程，/.m-10 且 m0,且 m0.故答案是：m力 1且 mNO.【点睛】考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键.题型03 一元二次方程的一般形式1.（2023株洲市三模）一元二次方程2/+1=3x的二次项系数是2,则一次项系数是（）A.3 B.-3 C.1 D.-1【答案】B【分析】先把方程化成一元二次方程的一般形式，再找出一次项系数即可.【详解】解：2x2+l=3x,2x2 3x+1=0,所以一次项系数是-3,故选：B.【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：一元二次方程的一般形式是ax?+匕 +。=0（、b、c 为常数，a 片0）.2.（2022上福建泉州九年级晋江市第一中学校联考阶段练习）一元二次方程2y2 一 7=3y的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A.2,-3,-7 B.2,-7,-3 C.2,-7,3 D.-2,-3,7【答案】A【分析】根据一元二次方程的概念，方程的解的概念以及配方法解一元二次方程的一般步骤对选项进行判断即可.一元二次方程的一般形式是：。/+加+。=0（,6,c 是常数且存0）特 别 要 注 意 0 的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中a/叫二次项，云叫一次项，c 是常数项.其中a,b,c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.【详解】解：一元二次方程2y2 7=3y化为一般形式为：2y2-3y-7=0,.二次项系数、一次项系数、常数项分别是2,-3,-7,故选A.【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式a/+c=0是解题的关键.3.（2022上广西柳州九年级统考期中）一元二次方程/一（3x-2）=8的一般形式是.【答案】X2 3 x 6 0【分析】根据去括号，移项，合并同类项的步骤求解即可.【详解】解:x2-（3x-2）=8,x2 3%+2=8,x2 3%6=0,故答案为：X2-3%6=0.【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，即a/+bx+c=o（a 力0）.其中。是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项.题型0 4由一元二次方程的解求参数的值1.（2022.广东广州 统考一模）若关于%的一元二次方程（-1）-ax+a2=的一个根为0.则 4【答案】-1【分析】根据一元二次方程的定义及根的意义，得到。2=1,。一1。0,求解即可.【详解】.,关于x 的一元二次方程（-1）x2-a x a2=1的一个根为0 M=1,。-1 工o a=1故答案为：-1.【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及一元二次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键.题型0 5由一元二次方程的解求代数式的值1.（2022浙江金华 统考一模）已知a是方程2/一 3%-5=0的一个解，贝！一 4a2+6a的 值 为（）A.10 B.-1 0 C.2 D.-4 0【答案】B【分析】将。代入方程得到2a2-3a=5,再将其整体代入所求代数式即可得解.【详解】力是方程的一个解，.,.有2a2 3a 5=0,即，2a2-3 a =5,-4a2+6a=-2（2小 3a）=-2 x 5=-10,故选：B.【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，此类题的特点是利用方程的解的定义找到相等关系，再将其整体代入所求代数式，即可快速作答，盲目解一元二次方程求值再代入计算，此方法耗时费力不可取.2.（2022上福建泉州九年级期末）已知实数。是一元二次方程，+工-8=0 的根，则/+/+8-1 的值为（）A.62 B.63 C.64 D.65【答案】B【分析】把方程的解代入方程得到关于4 的等式，然后利用等式对代数式进行化简求值.【详解】是一元二次方程式2+%一 8=0的一个根，*M+。-8=0a2 4-a=8:.a，+8a 1 /（小 0）_|_ 8a i=8小+8a 1 8（。？+c t）1=64-1=63故选：B【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于的等式，利用等式对代数式进行化简并求出代数式的值.3.（2020江苏泰州统考一模）已知，m,九是一元二次方程，+%一 2021=0的两个实数根，则代数式m2+2m+的值等于_ _.【答案】2020【分析】根据一元二次方程根的定义得到/+以=2 0 2 1,贝！J/+2 徵+=2021+徵+%再利用根与系数的关系得到加+行-1,然后利用整体代入的方法计算.【详解】解：加是一元二次方程f+x-2021=0的实数根，/.m2+m-2021=0,/.m2+m=2021,/.m2+2m+n=m2+m+m+n=2021+m+n，Vm,是一元二次方程/+%-2021=0的两个实数根，/.m+n=-l，m2+2m+n=2021-1=2020.故答案为：2 0 2 0.【点睛】本题考查了根与系数的关系：若制，X 2 是一元二次方程加+云+。=0 （存0）的两根时，Xl+X2=-yaX1X2=.也考查了 一元二次方程的解.a题型0 6已知一元二次方程的一个根，求另一个根1.（2 0 2 1.山东济南.统考中考真题）关于久的一元二次方程比2+工a =0 的一个根是2,则另一个根是.【答案】-3【分析】由题意可把广2代入一元二次方程进行求解a的值，然后再进行求解方程的另一个根.【详解】解:由题意把x=2 代入一元二次方程M+K a =o 得：22+2-a =0,解得：a =6,/.原方程为/+x 6 -0,解方程得：xr=2,%2=-3,方程的另一个根为-3；故答案为-3.【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及其解法，熟练掌握一元二次方程的解及其解法是解题的关键.2.（2 0 2 0 高州市一模）已知久=1是方程/+b 比一2 =0 的一个根，则 方 程 的 另 一 个 根 是.【答案】x =-2【分析】根据根与系数的关系即可求出答案.【详解】解：设另外一个根为尤，由根与系数的关系可知：1 -X =-2,即x =2.故答案为：x =-2.【点睛】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是熟练运用根与系数的关系.若%2 是一元二次方程a/+b x +c =0（a 羊 0）的两根时，+x2=|,xrx2=1.3.（2 0 2 2 北京顺义统考一模）已知关于x的一元二次方程机/一（2m一 1）久+小一 2 =0 有两个不相等的实数根.（1）求m的取值范围；(2)若方程有一个根是0,求方程的另一个根.【答案】(l)m -且m W 04(2)另一个根为|【分析】(1)由一元二次方程定义和根的判别式与根之间的关系，列不等式组求解即可.(2)将 x=0代入原方程，求出如再解方程即可.【详解】(1)解：/m/一(2m 1)%+m-2=0是一元二次方程，T H W 0,一元二次方程T n/一 (2m-1)%4-m-2=0有两个不相等的实数，A=h2-4ac0,即：(2zn I)?47n(?n 2)0,整理得：4m+10,、1772 ,4综上所述：m -且血。0.4(2).方程有一个根是0,将 x=0代入方程得：m 2=0,m=2,则原方程为：2%2-3x=0,解得：勺=0,%2=,，方程的另一个根为I.【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式与根的关系：A 0Q方程有两个不相等的实数根，A=0=方程有两个相等的实数根，()=方程没有实数根，2 0 0 方程有实数根.熟练掌握根的判别式与根的关系是解题关键，一元二次方程的二次项系数不能为。是易错点.4.(2022北京海淀校考一模)关于尤的一元二次方程/2尤+3爪-2=0有实数根.(1)求相的取值范围；(2)若方程有一根为4,求方程的另一根.【答案】(l)m 0,即(一2产一4(3m-2)0,解得：m 0,-2 2 /2 八工B,.x =-2-=-1 +一 V2,/.%1=V2-1,&=V2 1.【点睛】此题考查了解一元二次方程一公式法和配方法，解题时要注意解题步骤的准确应用.2.(2023江西吉安校考模拟预测)解方程：(1)(2%+1)2 =