2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（天津）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4测试范围：人教A版2019选择性必修第一册第一章第三章5难度系数：0.6。第卷一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1空间四边形中，点在上，点为的中点，则（）ABCD【答案】B【解析】如图，连结，因，点为的中点，则，于是，.故选B.2过点且与直线平行的直线方程是（）ABCD【答案】A【解析】与直线平行的直线方程可设为，因为点在直线上，所以，即过点且与直线平行的直线方程是，故选A3抛物线的准线方程为（）ABCD【答案】D【解析】抛物线的标准形式为，则，解得，即抛物线的准线为，故选.4在平行六面体中，其中，则（）A12BC6D【答案】D【解析】根据条件，以，作为一组基底，因为，所以，即，所以,因为，所以，所以.故选D.5已知圆与圆相交，则的取值范围为（）ABCD【答案】A【解析】圆化为标准方程得，则其圆心，半径，圆化为标准方程得，则其圆心，半径，因为两圆相交，所以，即，解得，所以的取值范围为.故选A.6已知双曲线的左，右焦点分别为，过作一条渐近线的垂线，垂足为，延长与另一条渐近线交于点，若为坐标原点，则双曲线的离心率为（）ABCD【答案】D【知识点】求点到直线的距离、求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】利用已知条件求出点坐标，求出点到渐近线的距离，结合可以得到点到渐近线的距离为，进而利用点到直线的距离公式求出与的关系，然后求解双曲线的离心率.【解析】由题意知，双曲线的两条渐近线方程分别为，过点且与渐近线垂直的直线方程为，联立，可解得，点到渐近线的距离，因为，所以点到渐近线的距离为，所以，即，所以，即双曲线的离心率为.故选D7如图所示，ABCDEFGH为边长等于1的正方体，若P点在正方体的内部且满足，则P点到直线BC的距离为（）ABCD【答案】B【解析】如图，以D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，所以，所以点P到的距离故选B.8在平面直角坐标系xOy中，若圆 (r0)上存在点P，且点P关于直线的对称点Q在圆 上，则r的取值范围是（）A(2，+)B2，+)C(2，8)D2，8【答案】D【解析】圆心坐标，设关于直线的对称点为，由，可得，所以圆关于直线对称圆的方程为，则条件等价为：与有交点即可，两圆圆心为，半径分别为，3，则圆心距，则有，由得，由得，综上：，所以r的取值范围是，故选D.9已知双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为（）ABCD【答案】D【解析】双曲线的渐近线，右焦点，依题意，解得，因此抛物线的焦点为，方程为，其准线为，由消去x并整理得：，即直线与抛物线相离，过点F作于点P，交抛物线于点M，过M作于点Q，交直线于点N，则有，在抛物线上任取点，过作于点，作于点，交准线于点，连，如图，显然，当且仅当点与点重合时取等号，所以抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为.故选D第卷二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分10直线被圆截得的弦长的最小值为_【答案】【解析】直线恒过定点，而圆的圆心为，半径为2，可得在圆内，经过点与线段垂直的弦的长度最短，此时弦长为故答案为：11如图，正四棱柱中，设，点在线段上，且，则直线与平面所成角的正弦值是_.【答案】/【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，令，则，故，设直线与平面所成角大小为，则，故答案为：12已知直线被圆截得的弦长为，则的值为_.【答案】1【解析】依题意可得圆心，半径，则圆心到直线的距离，由勾股定理可知，代入化简可得，且，解得故答案为：13在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则的方程为_；若则直线的斜率为_【答案】 【解析】令，由题意得：，即得，设直线与曲线的交点，联立曲线E与直线的方程，整理得：，而，代入整理：，即有或(舍去），故.故答案为：；14如图，在平行六面体中，点E为线段上靠近于点B的三等分点，设，则_（用含有，的表达式表示）；若点G为棱上的一个动点，则的最小值为_.【答案】 /2.75【解析】由题意得；设,则， ，由题意可知，故 ，当时，取得最小值 ，即则的最小值为，故答案为：；.15若对圆上任意一点，的取值与无关，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】设，则可以看作点到直线，与到直线的距离之和的倍因为的取值与无关，所以上述距离之和与点在圆上的位置无关如图，当直线m平移时，点P到直线m，l的距离之和均为m与l间的距离，即此时圆在两直线之间当直线m与圆相切时，化简得，解得或（舍去）所以，即故答案为：三、解答题：本题共5小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（14分）已知的三个顶点，.(1)求边所在直线的方程；(2)求边上的高所在直线的方程【解析】（1）直线的斜率为， 直线的方程为，即.（7分）（2）由（1）知直线的斜率为，所以由垂直关系可得边高线的斜率为， 因为上的高过点，所以上的高线方程为, 化为一般式可得：.（14分）17（15分）已知，.(1)当时，求实数的值;(2)当时，求实数的值.【解析】（1）解：因为，所以。，解得；（7分）（2）因为，所以，所以，解得.（15分）18（15分）已知双曲线过点，它的渐近线方程为.(1)求双曲线的标准方程；(2)设和是这双曲线的左、右焦点，点在这双曲线上，且，求的大小.【解析】（1）解：根据题意，双曲线的渐近线方程为，可设双曲线的方程为，；双曲线过点，将的坐标代入可得，解得，则所求的双曲线方程为；（7分）（2）解：设，则，又由双曲线的几何性质知，即有，又，所以是直角三角形，则（15分）19（15分）已知抛物线：与离心率为的椭圆：的一个交点为，点到抛物线的焦点的距离为2.（）求与的方程；（）设为坐标原点，在第一象限内，椭圆上是否存在点，使过作的垂线交抛物线于点，直线交轴于点，且？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】解：（）因为抛物线方程为，则准线方程为：，点到焦点的距离等于到准线的距离，所以有，解得：，抛物线方程为：.则或，且点在椭圆上，有，又椭圆离心率为，即，即，联立求解：，所以椭圆方程为.（6分）（）由题意，直线斜率存在且大于0，设直线的方程为：，因为，则有直线的方程为：，由得：，即；由得：，即.（10分）设直线与轴交于点，因为在第一象限内，满足，又，所以有，所以，即为线段中点，所以，即，无解，所以不存在点的坐标使得.（15分）20（16分）如图，四棱锥中，侧棱平面，点是的中点，底面是直角梯形，.(1)求证：平面；(2)求异面直线和所成角的余弦值；(3)点在线段上，平面和平面的夹角为，求的值.【解析】（1）证明：平面，以为原点，分别以、的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.，点是的中点，,，则平面，平面的一个法向量为.，平面， 平面 ；（5分）（2） 设异面直线和所成的角为， 异面直线和所成角的余弦值为.（10分）（3），设，则， 设平面的法向量为，则有不妨令，得，. 设平面的法向量为，则有不妨令，得，平面和平面的夹角为， . （16分）