2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线。5难度系数：0.65。第一部分（选择题 共58分）一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1直线的倾斜角为（）ABCD【答案】C【详解】由得：，设其倾斜角为，所以斜率， 故倾斜角为，故选：C2设，向量，且，则等于（）ABC3D4【答案】C【详解】，故选：C.3直线与圆交于两点，则的面积为（）AB2CD【答案】B【详解】如图，由圆配方得，知圆心为,半径为，过点作于，由到直线的距离为,则,故的面积为.故选：B.4设双曲线，椭圆的离心率分别为，若，则（）ABCD【答案】B【详解】由椭圆，可得，所以，所以椭圆的离心率，又，所以双曲线的离心率为，又双曲线，所以，所以，解得.故选：B.5已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，则（）A4B6C8D10【答案】B【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，设，则，解得或（舍去），则故选：B6在棱长为2的正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（）ABCD【答案】D【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，设平面的法向量为，则，令，得，所以，故，设直线与平面所成角为，则，所以.故选：D7设双曲线：的左、右焦点分别为，为双曲线上一点，且，若的面积为3，则（）A2B3CD【答案】A【详解】由双曲线C：,可得，.,.假设在双曲线右支上，则两边平方得，又 的面积为 3，即a=2.故选：A.8已知椭圆的上顶点为，离心率为，过其左焦点倾斜角为30的直线交椭圆于，两点，若的周长为16，则的方程为（）ABCD【答案】C【详解】因为椭圆的离心率，可得，所以，即，可得，则点，右焦点，所以，由题意可得直线的斜率，所以，即，由题意设直线的方程为，直线的方程为，设直线与直线的交点为，联立，可得，则，可得为的中点，所以直线为线段的中垂线，即，的周长为，可得，所以，所以椭圆的方程为：.故选：C二、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9以下命题正确的是（）A平面，的法向量分别为，则B直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直C直线的方向向量为，平面的法向量为，则D平面经过三点，向量是平面的法向量，则【答案】BD【详解】对于A，向量与不共线，平面与不平行，A错误；对于B，由，得，与垂直，B正确；对于C，则或，C错误；对于D，由是平面的法向量，得，解得，D正确.故选：BD10已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（）A的最大值为5B的最大值为C直线与圆相切时，D圆心到直线的距离最大值为4【答案】BC【详解】圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径.，Px0,y0是圆上的点，所以的最大值为，A选项错误.如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大，此时，且，B选项正确.直线，即，过定点，若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为，即，解得，所以C选项正确.圆心到直线的距离，当时，当时，所以D选项错误.故选：BC11如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（）A点在曲线上B点在上，则C点在椭圆上，若，则D过作轴的垂线交于两点，则【答案】ACD【详解】对选项A，因为，由定义知，故A正确；对选项B，点在上，则，化简得，所以，B错误；对选项C，椭圆上的焦点坐标恰好为与，则，又，所以，故，所以，C正确；对选项D，设，则，因为，则，又，所以，化简得，故，所以，故1，所以，故D正确，故选：ACD第二部分（非选择题 共92分）三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12若双曲线的一个焦点，一条渐近线方程为，则 【答案】【详解】双曲线的渐近线方程为，又为双曲线的一条渐近线，所以，设双曲线的半焦距为，因为为其一个焦点，所以，又，所以，所以.故答案为：.13在空间直角坐标系中，点为平面外一点，点为平面内一点若平面的一个法向量为，则点到平面的距离是 【答案】/【详解】由题知，又平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为，故答案为：.14已知，直线为上的动点.过点作的切线，切点分别为，当最小时，点的坐标为 ，直线的方程为 .【答案】 1,0 【详解】的标准方程为，其圆心为，半径为2.如图，由题意可知，则，所以当最小时，最小，此时与直线垂直，所以直线的方程为，即.联立，解得，所以点的坐标为1,0，.在Rt中，同理.以为圆心，为半径作圆，如图，则线段为与的公共弦，的方程为，即，两圆方程相减得，即直线的方程为.故答案为：1,0；四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13分）在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上.(1)求圆的标准方程；(2)若直线被圆截得弦长为，求实数的值.【详解】（1）因为，的中点为，且直线的斜率，则线段的垂直平分线所在直线的方程为，.3分联立方程，解得，.5分即圆心，所以，圆的方程为.7分（2）因为直线被曲线截得弦长为，则圆心到直线的距离，.10分由点到直线的距离公式可得，解得.13分16（15分）已知抛物线C：y2=2pxp0的焦点与双曲线E：的右焦点重合，双曲线E的渐近线方程为.(1)求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程.(2)斜率为1且纵截距为2的直线l与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，求的面积【详解】（1）因为双曲线E的渐近线方程为.所以，解得，从而，即，.3分所以右焦点为2,0，从而，解得，抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程依次分别为，.6分（2）由题意直线，它过抛物线的焦点2,0，联立抛物线方程得，化简并整理得，显然，所以，.10分点到直线的距离为，.12分所以，即的面积为.15分17（15分）在四棱锥中，平面平面，且.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求二面角的余弦值.【详解】（1）证明：过作于，因为，所以与相交，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，.2分因为平面，所以，因为，与相交，平面，所以平面；.4分（2）取的中点，连接，因为，所以，因为，所以为等边三角形，所以，因为，所以，因为平面，平面，所以，所以两两垂直，.6分所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，因为，所以，所以，.8分因为，平面所以平面，所以为平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则.11分（3）因为，所以，设平面的法向量为，则，令，则，.13分设平面的法向量为，则，令，则，.15分所以，因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.17分18（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，的周长为(1)求的