2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（江苏专用）（时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4测试范围：苏教版2019选择性必修第一册第1章第3章。5难度系数：0.65。第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（）A-2B1C3D4【答案】B【解析】经过两点的直线的斜率为，又直线的倾斜角为，所以，解得.故选：B.2求过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程是（）ABCD【答案】D【解析】设圆心坐标为C（2b+2，b），由圆过两点A（0，4），B（4，6），可得|AC|=|BC|，即，解得，可得圆心为（4，1），半径为5，则所求圆的方程为故选：D3已知双曲线经过点，且与椭圆有相同的焦点，则双曲线的标准方程为（）ABCD【答案】D【解析】椭圆焦点为，双曲线焦点为，且，将代入双曲线，得，又，解得，故双曲线的方程为，故选：D.4设，方程所表示的曲线是（）A焦点在x轴上的椭圆B焦点在x轴上的双曲线C焦点在y轴上的椭圆D焦点在y轴上的双曲线【答案】C【解析】若，则，曲线,即，表示焦点在轴上的椭圆故选：5设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若直线的倾斜角为，则（）A2B3C4D5【答案】C【解析】如图所示，抛物线及准线如图所示，过点作垂直准线于点，过焦点作垂直于于点，由题意可知，根据抛物线的定义在中，又，所以，解得.故选：C.6已知直线：与双曲线：交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是（）ABCD【答案】B【解析】解：设，可得，两式相减可得，点是弦的中点，且直线：，可得，即有，即，双曲线的渐近线方程为经验证此时直线与双曲线有两个交点.故选：B7已知函数，且点满足，若记点P构成的图形为，则的面积是（）ABCD【答案】A【解析】将函数表达式代入条件可得，即.所以区域即为圆的内部位于轴上方的部分，即该圆的去掉一个底为，高为的三角形，故所求面积为.故选：A.8已知椭圆的一个焦点为F，点P，Q是C上关于原点对称的两点则的取值范围为（）ABCD【答案】C【解析】由对称性和椭圆定义可知，其中，故，不妨设，则，故当时，取得最小值，最小值为4，当时，取得最大值，最大值为64，故，故当时，取得最小值，最小值为51，当时，取得最大值，最大值为，故的取值范围是.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9已知直线，下列说法正确的是（）A直线过定点B当时，关于轴的对称直线为C直线一定经过第四象限D点到直线的最大距离为【答案】BD【解析】对于A，直线，所以直线过定点，故A错误；对于B.当时，直线方程为，关于轴的对称直线为，故B正确；对于C，当时，直线方程为，直线不经过第四象限，故C错误；对于D，如图所示：设，由图象知：，点到直线的最大距离为，故D正确；故选：BD10已知抛物线的焦点为F，AB是经过抛物线焦点F的弦，M是线段AB的中点，经过点A，B，M作抛物线的准线l的垂线AC，BD，MN，垂足分别是C，D，N，其中MN交抛物线于点Q，连接QF，NF，NB，NA，则下列说法正确的是（ ）ABCQ是线段的一个三等分点D【答案】ABD【解析】如图，由抛物线的定义，对于A，得，又，则，A正确；对于B，由，得，所以.而，所以，所以，可知，所以，B正确；对于D，在中，可知，所以，D正确；对于C，由，可知，所以，即Q是的中点，C不正确.故选：ABD.11直线y=kx与双曲线交于两点，点位于第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，点为双曲线的左焦点，则（）A若，则B若，则的面积为4CD的最小值为4【答案】AD【解析】设双曲线右焦点为，由题意可知，四边形为平行四边形，由双曲线可知：，对于A，因为，所以，所以四边形为矩形，所以，故A正确；对于B，据双曲线定义可知：，若，则四边形为矩形，则，所以，即所以，所以，所以，故B不正确；对于C，由双曲线的方程可知，在中，又因为双曲线渐近线方程为：，所以，所以，即，故C错误；对于D，当且仅当时，取到最小值为4，故D正确故选：AD第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12若与平行，则两直线之间的距离为 .【答案】【解析】直线与平行，解得，直线，直线，直线与之间的距离，故答案为：.13已知点，若圆上存在点M满足，则实数a的取值范围是 .【答案】【解析】由题意可知：圆的圆心，半径，则，其中为坐标原点，可得，则，所以M的轨迹是以O为圆心，r=3的圆，由题意可知：圆与圆有公共点，则，即，解得，所以实数a的取值范围是.故答案为：.14已知抛物线的焦点为，圆，圆心是抛物线上一点，直线，圆与线段相交于点，与直线交于，两点，且，若，则抛物线方程为 .【答案】【解析】如图，过点作于点，则,由图知，由可得，又点在抛物线上，可得，即，把式代入式，解得，回代入可得，代入式整理得， ，解得，或（舍去），故抛物线方程为：.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15（13分）已知直线：，：，其中为实数.(1)当时，求直线，之间的距离；(2)当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程.【解析】（1）由得，解得，2分此时直线：，：，不重合，4分则直线，之间的距离为；6分（2）当时，：，联立，解得，9分又直线斜率为，10分故过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程为，12分即.13分16（15分）已知圆C过两点， 且圆心C在直线上.(1)求圆C的方程；(2)过点作圆C的切线，求切线方程.【解析】（1）根据题意，因为圆过两点，设的中点为，则，因为，所以的中垂线方程为，即又因为圆心在直线上，联立，解得，3分所以圆心，半径，故圆的方程为；5分（2）圆的圆心为，半径，6分当过点P的切线的斜率不存在时，此时直线与圆C相切；8分当过点P的切线斜率k存在时，设切线方程为，即（*），9分由圆心C到切线的距离，即，可得，12分将代入（*），得切线方程为，即，14分综上，所求切线方程为或.15分17（15分）2024年4月30日17时46分，神舟十七号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱返回舱的轴截面可近似看作是由半个椭圆和一段圆弧组成的“果圆”如图，在平面直角坐标系中，某“果圆”中圆弧经过椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与(1)写出图中“果圆”的方程；(2)直线交该“果圆”于A、B两点，求弦AB的长度（精确到0.01）【解析】（1）因为椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与.可得，即，所以半个椭圆的方程为；2分圆弧经过椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与，设圆弧方程为，4分利用，解得，所以，得.6分所以果圆方程为，.7分（2）由，解得，得，10分由，解得，得，13分所以.15分18（17分）已知抛物线的焦点为，点在上，且的最小值为1.(1)求的方程；(2)过点的直线与相交于，两点，过点的直线与相交于，两点，且，不重合，判断直线是否过定点.若是，求出该定点；若不是，请说明理由.【解析】（1）由题意可设，则1分所以则的最小值为，则，得.4分所以的方程为.6分（2）因为A，C不重合，所以直线，的斜率必然存在.设，.直线的斜率，得.9分直线的斜率.得.由，可得.12分直线的斜率.所以直线的方程.15分故直线过定点.17分19（17分）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点(1)求双曲线的方程(2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在出直线l的方程；若不存在，说明理由(3)点，直线交直线于点设直线、的斜率分别、，求证：为定值【解析】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上，可得，解得，2分所以双曲线的方程为3分（2）双曲线的左焦点为，当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，不符合题意，4分当直线的斜率不为0时，设，由，消去得，5分显然，设，则，得，6分于是，8分即，因此与不垂直，所以不存在直线，使得点在以为直径的圆上10分（3）由直线，得，则，又，12分于是，而，即有，且，15分所以，即为定值17分