2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册第一章第三章（空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）。5难度系数：0.65。第一部分（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若直线的倾斜角为，则（）A0BCD不存在【答案】C【解析】因为，为一常数，故直线的倾斜角为，故选：C2在空间直角坐标系中，点，点A关于y轴对称的点为C，点B关于平面对称的点为D，则向量的坐标为（）ABCD【答案】B【解析】，点A关于y轴对称的点为，点B关于平面对称的点为.则.故选：B.3已知圆，圆，则两圆的位置关系（）A内切B外切C相交D相离【答案】B【解析】易知圆的圆心为，半径为；圆可化为，圆心，半径为；圆心距，所以两圆外切.故选：B4已知点在焦点为的抛物线上，若，则（）A3B6C9D12【答案】A【解析】抛物线，准线，,由抛物线的定义可知，解得.故选：A.5如图，在平行六面体中，则的长为（ ）ABCD【答案】A【解析】平行六面体中，因为，所以，所以，即的长为，故选：A.6点P在直线上运动，则的最大值是（）ABC3D4【答案】A【解析】设关于的对称点为，则，解得，即故,当且仅当，三点共线时，等号成立.故选：A7已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（）A8BC10D【答案】C【解析】椭圆的方程为，则，连接，则由椭圆的中心对称性可知，可知为平行四边形，则，可得的周长为，当AB位于短轴的端点时，AB取最小值，最小值为，所以周长为故选：C.8如图，已知正方体的棱长为1，点为棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，给出以下三个结论：存在点满足；存在点满足与平面所成角的大小为；存在点满足；其中正确的个数是（）A0B1C2D3【答案】D【解析】如图建立平面直角坐标系，则，设，则，若，则，解得，所以存在点满足，故正确；因为，设平面的法向量为n=a,b,c，则，取，设与平面所成角为，则，令，则，所以，令，则，所以，所以存在点满足与平面所成角的大小为，故正确；因为，所以，所以，所以存在点满足，故正确.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9已知向量，则下列结论正确的是（）A与垂直B与共线C与所成角为锐角D，可作为空间向量的一组基底【答案】BC【解析】对A：，故与不垂直，故A错误；对B：由、，有，故与共线，故B正确；对C：，且与不共线，故与所成角为锐角，故C正确；对D：由与共线，故，不可作为空间向量的一组基底，故D错误.故选：BC.10已知圆，直线.则以下命题正确的有（）A直线l恒过定点By轴被圆C截得的弦长为C直线l与圆C恒相交D直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为【答案】CD【解析】对于A，直线，即，由，解得，故直线过定点，故A错误；对于B, 圆，当时，故y轴被圆C截得的弦长为，故B错误；对于C，直线过定点，,故点在圆内，则直线l与圆C恒相交，故C正确；对于D，当直线l被圆C截得弦长最长时，直线过圆心，则，解得，故直线方程为：，即，故D正确.故选：CD11已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，以线段为直径的圆交轴于两点，设线段的中点为，下列说法正确的是（）A若抛物线上存在一点，到焦点的距离等于4，则抛物线的方程为B若，则直线的倾斜角为CD若点到抛物线准线的距离为2，则的最小值为【答案】AC【解析】设，直线的方程为，由，得，则，所以，对于A：若抛物线上存在一点，到焦点的距离等于4，即，则，解得，所以抛物线的方程为，故A正确；对于B：，即，代入，可得，解得，所以直线的斜率，即直线的倾斜角为或，故B错误；对于C：，故C正确；对于D：若点到抛物线准线的距离为2，则，所以抛物线方程为，连接，过点作轴于点，则，所以，因为，所以，所以，综上，最小值为，故D错误故选：AC第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12已知的三个顶点，那么三角形外接圆的方程是 【答案】【解析】设的外接圆方程为，则，解得，所以三角形外接圆的方程为.故答案为：13已知棱长为1的正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则 【答案】【解析】由题意可知：，且，因为M为BC中点，N为AD中点，则，所以.故答案为：14设双曲线的左右焦点分别为为左顶点，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点（点在第一象限）.若，则双曲线的离心率 ， .【答案】2 【解析】如图，由题意，知，设双曲线的焦距为，则.由，得，且，所以，所以，即，所以双曲线的离心率.连接，设，则.在和中，由余弦定理的推论，得，化简整理，得，所以在中，由余弦定理的推论，得.故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13分）已知两直线和的交点为(1)直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程；(2)圆过点且与相切于点，求圆的一般方程【解析】（1）直线与直线平行，故设直线为，（1分）联立方程组，解得（3分）直线和的交点又直线过点，则，解得，（4分）即直线的方程为（5分）（2）设所求圆的标准方程为，（6分）的斜率为，故直线的斜率为1，（7分）由题意可得解得（10分）故所求圆的方程为（11分）化为一般式：（13分）16（15分）在正四棱柱中，点在线段上，且，点为中点.(1)求点到直线的距离；(2)求证：面.【解析】（1）如图,以为原点，以分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，（1分，建系正确即可）正四棱柱,为中点,（2分）则点到直线的距离为：.（8分）（2）由（1）可得，则，（9分）由可得，（11分）又由可得，（13分）又，（14分）故面.（15分）17（15分）已知椭圆的离心率为，且过点.(1)求椭圆的方程：(2)过点的直线与椭圆交于点、，设点，若的面积为，求直线的斜率.【解析】（1）由椭圆的离心率为，得，（1分）解得，（2分）由椭圆过点，得，（3分）联立解得，（4分）所以椭圆的方程为.（5分）（2）依题意，直线不垂直于轴，设其方程为，（6分），则，由消去得，显然，（7分）则，（8分）的面积（10分），（13分）解得，（14分）所以直线的斜率.（15分）18（17分）如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点.(1)证明：平面；(2)若，（i）求二面角的余弦值；（ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【解析】（1）如图，取中点，连接，（1分，辅助线表述正确即可）因为是中点，所以，（2分）又，所以四边形是平行四边形，（3分），（4分）又平面，平面，平面.（5分）（2），又，则，（6分）又平面平面，平面平面，平面，（7分），又，所以，两两互相垂直，如图，以点为坐标原点，分别为，轴建立空间直角坐标系，则，（8分）（i）设平面的一个法向量为，则，即，令，可得，（10分）又平面的一个法向量为，（11分），所以二面角的余弦值为.（12分）（ii）假设线段上存在点，使得点到平面的距离为，设，（13分）由（i）知平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为，（15分）则，解得或，（16分）又，所以，即存在点到平面的距离为，且.（17分）19（17分）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且.(1)求双曲线C的方程；(2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）.（i）求m的取值范围；（ii）设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上.【解析】（1）由题意可知，因为，所以.（1分）设，则，所以，（2分）又，（3分）所以.（4分）所以双曲线C的方程为.（5分）（2）（i）由题意知直线l的方程为.（6分）联立，化简得，（7分）因为直线l与双曲线左右两支相交，所以，即满足：，（10分）所以或；（11分）（ii），（12分）直线AD的方程为直线BE的方程为.（13分）联立直线AD与BE的方程，得，（14分）所以，所以，所以.所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线上.（17分）