20242025学年陕西省西安市雁塔区第二中学高二上学期10月月考数学试卷一、单选题() 1. 若直线 的倾斜角为 ， 则 （ ） A 0B C D 不存在 () 2. 若椭圆 的长轴长为 ， 则 （ ） A B C D () 3. 直线 与圆 交于 两点， 则 的面积为（ ） A B 2C D () 4. 阿基米德在他的著作关于圆锥体和球体中计算了一个椭圆的面积， 当我们垂直地缩小一个圆时， 得到一个椭圆， 椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆 的面积为 ， 两个焦点分别为 ， ， 直线 与椭圆 交于 ， 两点， 若四边形 的周长为12， 则椭圆 的短半轴长为（ ） A 4B 3C 2D 6 () 5. 已知点 ， ， 若过点 的直线与线段 AB相交， 则该直线斜率的取值范围是（ ） A B C D () 6. 已知 是直线 l被椭圆 所截得的线段 的中点， 则直线 l的方程为（ ） A B C D () 7. 若椭圆 与双曲线 （ ， ， ， 均为正数）有共同的焦点 ， ， 是两曲线的一个公共点， 则 等于（ ） A B C 或D 或 () 8. 已知 为圆 上任意一点， 则 的最大值为（ ） A B C D 二、多选题() 9. 下列对动直线 的四种表述正确的是（ ） A 与曲线C： 可能相离， 相切， 相交B 恒过定点C 时， 直线斜率是0D 时， 直线的倾斜角是 () 10. 如图所示， 用一个与圆柱底面成 角的平面截圆柱， 截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为 ， 则（ ） A 椭圆的长轴长等于4B 椭圆的离心率为C 椭圆的标准方程可以是D 椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为 () 11. 已知曲线 ， 曲线 ， 下列结论正确的是（ ） A 与有4条公切线B 若分别是上的动点， 则的最小值是3C 直线与的交点的横坐标之积为D 若是上的动点， 则的最小值为8 三、填空题() 12. 已知圆 ， 以圆心 和 为直径的圆的标准方程是 _ () 13. 已知圆 ， 则圆心 到直线 的最大距离为 _ . () 14. 在等腰直角三角形 中， ， 点 是边 上异于 ， 的一点， 光线从点 出发， 经 ， 反射后又回到点 ， 如图所示， 若光线 经过 的重心 ， 则 的长度为 _ . 四、解答题() 15. 已知 的顶点 A（3， 1）， 边 AB上的高 CE所在直线的方程为 x+3 y-5=0， AC边上中线 BD所在的直线方程为 x+ y-5=0 （1）求直线 AB的方程； （2）求点 C的坐标 () 16. 已知圆 (1)直线 l过点 且与圆 C交于 A、 B两点， 若 ， 求直线 l的方程； (2)过圆 C上一动点 M作平行于 x轴的直线 m， 设 m与 y轴的交点为 N， 若向量 ， 求动点 Q的轨迹方程 () 17. 已知圆心在 x轴上的圆 C与直线 切于点 （1）求圆 C的标准方程； （2）已知点 ， 直线 与圆 C交于点 ， 两点 （ i）求证： 为定值； （ ii）求 的最大值 () 18. 已知椭圆 ： 的离心率为 ， 右顶点 与 的上， 下顶点所围成的三角形面积为 (1)求 的方程 (2)不过点 的动直线 与 交于 ， 两点， 直线 与 的斜率之积恒为 （i）证明： 直线 过定点； （ii）求 面积的最大值 () 19. 在平面直角坐标系 中， 利用公式 （其中 ， ， ， 为常数）， 将点 变换为点 的坐标， 我们称该变换为线性变换， 也称为坐标变换公式， 该变换公式可由 ， ， ， 组成的正方形数表 唯一确定， 我们将 称为二阶矩阵， 矩阵通常用大写英文字母 ， ， 表示. (1)如图， 在平面直角坐标系 中， 将点 绕原点 按逆时针旋转 角得到点 （到原点距离不变）， 求坐标变换公式及对应的二阶矩阵 ； (2)在平面直角坐标系 中， 求双曲线 绕原点 按逆时针旋转 （到原点距离不变）得到的双曲线方程 ； (3)已知由（2）得到的双曲线 ， 上顶点为 ， 直线 与双曲线 的两支分别交于 ， 两点（ 在第一象限）， 与 轴交于点 .设直线 ， 的倾斜角分别为 ， ， 求证： 为定值.