20242025学年山东省青岛第十五中学高二上学期第一次月考数学试卷一、单选题() 1. 直线 的倾斜角为（ ） A B C D () 2. 圆心在 轴上， 半径为2， 且过点 的圆的方程为（ ） A B C D () 3. 向量 ， 若 ， 则 与 的夹角为（ ） A B C D () 4. 已知 m为实数， 直线 ， ， 若 ， 则实数 m的值 A 2B 1C 1或2D 0或 () 5. 将一枚质地均匀的骰子抛掷2次， 表示事件“没有出现1点”， 表示事件“出现一次1点”， 表示事件“两次抛出的点数之和是8”， 表示事件“两次掷出的点数相等”， 则下列结论中正确的是（ ） A 事件与事件是对立事件B 事件与事件是相互独立事件C 事件与事件是互斥事件D 事件包含于事件 () 6. 已知点 是直线 上一点， ， 则 的最小值为（ ） A B C D () 7. 已知矩形 中， ， ， 将矩形 沿对角线 折起， 使平面 与平面 垂直， 则 （ ） A B C D 2 () 8. 古代城池中的“瓮城”， 又叫“曲池”， 是加装在城门前面或里面的又一层门， 若敌人攻入瓮城中， 可形成“瓮中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上.下底面均为半圆形的柱体.若 垂直于半圆柱下底面半圆所在平面， ， ， ， 为弧 的中点， 则直线 与平面 所成角的正弦值为（ ） A B C D 二、多选题() 9. 下列说法正确的是（ ） A 已知一组数据1， 2， m， 6， 7的平均数为4.则这组数据的方差是B 已知点， 若过的直线l与线段AB不相交， 且其斜率存在， 则直线的斜率C 若样本数据的标准差为8.则的标准差为32D 在四棱柱中， () 10. 关于曲线 ： ， 下列说法正确的是（ ） A 曲线围成图形的面积为B 曲线所表示的图形有且仅有条对称轴C 曲线所表示的图形是中心对称图形D 曲线是以为圆心， 为半径的圆 () 11. 已知空间三点 ， 设 .则下列结论正确的是（ ） A 若， 且， 则B 和的夹角的余弦值C 若与互相垂直， 则的值为2；D 若与轴垂直， 则， 应满足 三、填空题() 12. 已知事件 与 相互独立， ， ， 则 _ () 13. 已知直线过点 ， 它在 轴上的截距是在 轴上的截距的2倍， 则此直线的方程为 _ () 14. 如图， 长方体 中， 、 与底面所成的角分别为 和 ， ， 点 为线段 上一点， 则 最小值为 _ . 四、解答题() 15. 在平面直角坐标系 xOy中， 已知点 动点 满足 设点 的轨迹构成曲线 C (1)求曲线 的方程及轨迹； (2)设点 是曲线 上的任意一点， 求 的取值范围 () 16. 如图， 平行六面体 中， 底面 ABCD是边长为1的正方形， ， 设 (1)试用 表示向量 ； (2)若 ， 求点 到直线 的距离 () 17. 已知直线 (1)证明： 无论 m为何值， 直线 l与直线 总相交； (2)求点 到直线 l距离的最大值； (3)若 O为坐标原点， 直线 l与 x ， y轴的正半轴分别交于 A ， B两点， 求 面积的最小值 () 18. 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度， 针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛， 满分100分（95分及以上为认知程度高）.结果认知程度高的有 人， 按年跉从小到大分成5组， 得到如图所示频率分布直方图， 已知第一组有10人. (1)根据频率分布直方图， 估计这 人的平均年龄和第80百分位数；（结果用小数表示） (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人， 担任本市的“中国梦”宣传使者 （i）若有甲（年龄38）， 乙（年龄40）两人已确定入选宣传使者， 现计划从第四组和第五组被抽到的使者中， 再随机抽取2名作为组长， 求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； （ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和 ， 第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1 据此估计这 人中 岁所有人的年龄的方差 () 19. 如图所示的几何体中， 垂直于梯形 所在的平面， 为 的中点， ， 四边形 为矩形， 线段 交 于点 . （1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的正弦值； （3）在线段 上是否存在一点 ， 使得 与平面 所成角的大小为 ？若存在， 求出 的长；若不存在， 请说明理由.