2025届上海市奉贤中学高三上学期开学摸底数学试卷一、填空题() 1. 函数 的定义域是 . () 2. 已知向量 ， ， 若 ， 则实数 _ () 3. 已知等差数列 的前 项和为 ， 若 则 _ () 4. 设 ， 则方程 的解集为 _ () 5. 在一次为期 天的博览会上， 主办方统计了每天的参观人数（单位： 千人）， 得到样本的茎叶图（如下图）， 则该样本的第 百分位数是 _ () 6. 设 为常数， 若 ， 则函数 的图象必定不经过第 _ 象限 () 7. 设函数 ， 若 ， 则实数 的值为 _ () 8. 若对于任意实数 ， 都有 ， 则 的值为 _ ； () 9. 如图， 在圆锥 中， 为底面圆 的直径， ， 点 在底面圆周上， 且 .若 为线段 上的动点， 则 的周长最小值为 _ () 10. 随着我国国民教育水平的提高， 越来越多的有志青年报考研究生.现阶段， 我国研究生入学考试科目为思政、外语和专业课三门， 录取工作将这样进行： 在每门课均及格（ 分）的考生中， 按总分进行排序， 择优录取.振华同学刚刚完成报考， 尚有11周复习时间， 下表是他每门课的复习时间和预计得分.设思政、外语和专业课分配到的周数分别为 ， 则自然数数组 _ 时， 振华被录取的可能性最大. 科目周数012345678910思政2040556572788082838485外语3045535862656870727475专业课5070859093959696969696 () 11. 已知函数 ， 正项等比数列 满足 ， 则 _ () 12. 设点 在直线 上， 点 在曲线 上， 线段 的中点为 ， 为坐标原点， 则 的最小值为 _ . 二、单选题() 13. “ ”是“ ”的 （ ） A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 既非充分也非必要条件 () 14. 下列说法中错误的是（ ） A 一组数据的平均数、中位数可能相同B 一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数一样多C 平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量D 极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量 () 15. 已知 是复数， 是其共轭复数， 则下列命题中正确的是 （ ） A B 若， 则的最大值为C 若， 则复平面内对应的点位于第一象限D 若是关于的方程的一个根， 则 () 16. 已知集合 是由某些正整数组成的集合， 且满足： 若 ， 则当且仅当 其中 且 ， 或 其中 且 .现有如下两个命题: ；集合 .则下列选项中正确的是（ ） A 是真命题， 是真命题；B 是真命题， 是假命题C 是假命题， 是真命题；D 是假命题， 是假命题. 三、解答题() 17. 一个盒子中装有4张卡片， 卡片上分别写有数字1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片. (1)若一次抽取3张卡片， 事件 A表示“3张卡片上数字之和大于7”， 求 ； (2)若第一次抽取1张卡片， 放回后再抽取1张卡片， 事件 B表示“两次抽取的卡片上数字之和大于6”， 求 ； (3)若一次抽取2张卡片， 事件 C表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”， 事件 D表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”， 验证 C、 D是独立的. () 18. 在 中， 角 的对边分别为 . (1)若 ， 求角 的大小； (2)若 边上的高等于 ， 求 的最大值. () 19. 如图， 在直三棱柱 中， ， ， 且 分别是 的中点. (1)证明： ； (2)求三棱锥 的体积； (3)求直线 与平面 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） () 20. 以坐标原点为对称中心， 焦点在 轴上的椭圆 过点 ， 且离心率为 . (1)求椭圆 的方程； (2)若点 ， 动点 满足 ， 求动点 的轨迹所围成的图形的面积； (3)过圆 上一点 （不在坐标轴上）作椭圆 的两条切线 .记 的斜率分别为 ， 求证： . () 21. 已知函数 ， ， 其中 为自然对数的底数. (1)求函数 的图象在点 处的切线方程； (2)设函数 ， 若 ， 求函数 的单调区间， 并写出函数 有三个零点时实数 的取值范围； 当 时， 分别为函数 的极大值点和极小值点， 且不等式 对任意 恒成立， 求实数 的取值范围.