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河北省部分学校2025届高三上学期质量检测二数学试题一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x|x29x+200,B=x|log2(x3)|b|B. |ab|ab|D. (a+b)(ab)05.已知函数f(x)=cosx 3sinx(0)的部分图象如图所示,则下列选项不正确的是() A. 函数f(x)的图象关于点(712,0)中心对称B. 函数f(x)的单调增区间为k23,k6(kZ)C. 函数f(x)的图象可由y=2sinx的图象向左平移56个单位长度得到D. 函数g(x)=f(tx),(t0)在(0,)上有2个零点,则实数t的取值范围为(724,13246.对于一个函数:当自变量x取a时,其函数值等于2a,则称a为这个函数的H数若二次函数y=ax2+4x+c(a,c为常数且a0)有且只有一个H数1,且当0xm时,函数y=ax2+4x+c2的最小值为3,最大值为1,则m的取值范围是()A. 0m2B. 1m3C. 2m3D. 2m47.若ex1x3=lnx2x3=1,则下列不等关系一定不成立的是()A. x3x2x1B. x3x1x2C. x2x1=x3D. x2x1x38.在ABC中,B=4,C=512,AC=2 6,AC的中点为D,若长度为3的线段PQ(P在Q的左侧)在直线BC上移动,则AP+DQ的最小值为()A. 30+2 102B. 30+3 102C. 30+4 102D. 30+5 102二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.已知向量a=(3,4),b=(2,1),则()A. a2b=(1,6)B. |a+b|= 34C. 与向量a平行的单位向量为a=(35,45)D. 向量a在向量b上的投影向量为25b10.ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为ABC的面积,且a=2,ABAC=2 3S,下列选项正确的是()A. A=3B. 若b=3,则ABC有两解C. 若ABC为锐角三角形,则b取值范围是(2 3,4)D. 若D为BC边上的中点,则AD的最大值为2+ 311.已知f(x)=lnxax+ax有两个不同的极值点x1,x2,则()A. x1+x20C. f(x1)+f(x2)=0D. f(x1)f(x2)x1x20,所以a+c=217.解:(1)由已知得f(x)=exax+1,则f(0)=e0a=1a,又f(0)=1,所以f(x)的图象在点(0,f(0)处的切线方程为y=(1a)x+1,将点(2,1)代入得1=2(1a)+1,解得a=1(2)f(x)=exln(x+1),定义域为(1,+),所以f(x)=ex1x+1=(x+1)ex1x+1,令g(x)=(x+1)ex1,(x1),则g(x)=(x+2)ex,易得g(x)0在(1,+)上恒成立,所以g(x)在(1,+)上单调递增,又g(0)=0,所以当1x0时,g(x)0,即f(x)0时,g(x)0,即f(x)0,f(x)在(0,+)上单调递增,所以f(x)极小值为f(0)=1,无极大值18.解:(1)由正弦定理得2sinB+6=sinB+sinCsinA,即sinA( 3sinB+cosB)=sinB+sinC,又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以sinA( 3sinB+cosB)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,即 3sinAsinB=sinB+cosAsinB,又0B0, 3sinA=1+cosA,即 3sinAcosA=2sinA6=1,即sinA6=12,又0A,A6=6,解得A=3;(2)由题意得:SABC=12bcsinA= 3b,由正弦定理得:b=csinBsinC=4sin(23C)sinC=2 3cosC+2sinCsinC=2 3tanC+2,又ABC为锐角三角形,023C2,0C2,6C 33,2b8,2 3 3b8 3,从而2 3SABC8 3所以ABC面积的取值范围是2 3,8 319.解:(1)设g(x)=f(x)=1x1+2cosx,当x(0,)时,g(x)=2sinx1x20,g2=210,f(x)在(0,a)上单调递增;当x(a,)时,f(x)0,f(x)在(a,)上单调递减,所以f(x)在(0,)上存在唯一的极大值点a;(2)由(1)知:f(x)在(0,)上存在唯一的极大值点a3af2=ln22+2220,又因为f1e2=21e2+2sin1e221e2+20,所以f(x)在(0,a)上恰有一个零点,又因为f()=ln20,所以f(x)在(a,)上也恰有一个零点.当x,2)时,则sinx0,f(x)lnxx,设(x)=lnxx,(x)=1x10,所以(x)在,2)上单调递减,所以(x)()0,所以当x,2)时,f(x)(x)()0恒成立,所以f(x)在,2)上没有零点.当x2,+)时,f(x)lnxx+2,设(x)=lnxx+2,(x)=1x10,所以(x)在2,+)上单调递减,所以(x)(2)=ln22+222+2=420,所以当x2,+)时,f(x)(x)(2)0恒成立,所以f(x)在2,+)上没有零点综上,f(x)有且仅有两个零点第7页,共7页
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