河北省部分学校2025届高三上学期质量检测二数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x|x29x+200，B=x|log2(x3)|b|B. |ab|ab|D. (a+b)(ab)05.已知函数f(x)=cosx 3sinx(0)的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是() A. 函数f(x)的图象关于点(712,0)中心对称B. 函数f(x)的单调增区间为k23,k6(kZ)C. 函数f(x)的图象可由y=2sinx的图象向左平移56个单位长度得到D. 函数g(x)=f(tx),(t0)在(0,)上有2个零点，则实数t的取值范围为(724,13246.对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值等于2a，则称a为这个函数的H数若二次函数y=ax2+4x+c(a,c为常数且a0)有且只有一个H数1，且当0xm时，函数y=ax2+4x+c2的最小值为3，最大值为1，则m的取值范围是()A. 0m2B. 1m3C. 2m3D. 2m47.若ex1x3=lnx2x3=1，则下列不等关系一定不成立的是()A. x3x2x1B. x3x1x2C. x2x1=x3D. x2x1x38.在ABC中，B=4,C=512,AC=2 6，AC的中点为D，若长度为3的线段PQ(P在Q的左侧)在直线BC上移动，则AP+DQ的最小值为()A. 30+2 102B. 30+3 102C. 30+4 102D. 30+5 102二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(3,4)，b=(2,1)，则()A. a2b=(1,6)B. |a+b|= 34C. 与向量a平行的单位向量为a=(35,45)D. 向量a在向量b上的投影向量为25b10.ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为ABC的面积，且a=2，ABAC=2 3S，下列选项正确的是()A. A=3B. 若b=3，则ABC有两解C. 若ABC为锐角三角形，则b取值范围是(2 3,4)D. 若D为BC边上的中点，则AD的最大值为2+ 311.已知f(x)=lnxax+ax有两个不同的极值点x1，x2，则()A. x1+x20C. f(x1)+f(x2)=0D. f(x1)f(x2)x1x20，所以a+c=217.解：(1)由已知得f(x)=exax+1，则f(0)=e0a=1a，又f(0)=1，所以f(x)的图象在点(0,f(0)处的切线方程为y=(1a)x+1，将点(2,1)代入得1=2(1a)+1，解得a=1(2)f(x)=exln(x+1)，定义域为(1,+)，所以f(x)=ex1x+1=(x+1)ex1x+1，令g(x)=(x+1)ex1，(x1)，则g(x)=(x+2)ex，易得g(x)0在(1,+)上恒成立，所以g(x)在(1,+)上单调递增，又g(0)=0，所以当1x0时，g(x)0，即f(x)0时，g(x)0，即f(x)0，f(x)在(0,+)上单调递增，所以f(x)极小值为f(0)=1，无极大值18.解：(1)由正弦定理得2sinB+6=sinB+sinCsinA，即sinA( 3sinB+cosB)=sinB+sinC，又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，所以sinA( 3sinB+cosB)=sinB+sinAcosB+cosAsinB，即 3sinAsinB=sinB+cosAsinB，又0B0， 3sinA=1+cosA，即 3sinAcosA=2sinA6=1，即sinA6=12，又0A，A6=6，解得A=3；(2)由题意得：SABC=12bcsinA= 3b，由正弦定理得：b=csinBsinC=4sin(23C)sinC=2 3cosC+2sinCsinC=2 3tanC+2，又ABC为锐角三角形，023C2，0C2，6C 33，2b8，2 3 3b8 3，从而2 3SABC8 3所以ABC面积的取值范围是2 3,8 319.解：(1)设g(x)=f(x)=1x1+2cosx，当x(0,)时，g(x)=2sinx1x20,g2=210,f(x)在(0,a)上单调递增；当x(a,)时，f(x)0,f(x)在(a,)上单调递减，所以f(x)在(0,)上存在唯一的极大值点a;(2)由(1)知：f(x)在(0,)上存在唯一的极大值点a3af2=ln22+2220，又因为f1e2=21e2+2sin1e221e2+20，所以f(x)在(0,a)上恰有一个零点，又因为f()=ln20，所以f(x)在(a,)上也恰有一个零点.当x,2)时，则sinx0,f(x)lnxx，设(x)=lnxx,(x)=1x10，所以(x)在,2)上单调递减，所以(x)()0，所以当x,2)时，f(x)(x)()0恒成立，所以f(x)在,2)上没有零点.当x2,+)时，f(x)lnxx+2，设(x)=lnxx+2,(x)=1x10，所以(x)在2,+)上单调递减，所以(x)(2)=ln22+222+2=420，所以当x2,+)时，f(x)(x)(2)0恒成立，所以f(x)在2,+)上没有零点综上，f(x)有且仅有两个零点第7页，共7页