专题07 三角形中的中位线与中垂线模型【模型1】三角形中位线如图，已知D、E分别为AB、AC的中点，根据三角形中位线的性质，可得,根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，可得。【模型2】梯形中位线如图，已知，E、F分别为梯形两腰AD、BC的中点，根据梯形中位线的性质，可得,【模型拓展1】常见的中位线辅助线作法如图，在中，已知点D为AB的中点，通常情况下，过点D作，可知DE 为的中位线。【模型拓展2】常见的中位线辅助线作法如图，在中，已知点D为AB的中点，通常情况下，过点D作，可知BC为的中位线。【模型3】中垂线模型如图，已知直线是AB的垂直平分线，点A是直线上的一点，连接AB、AC,根据线段垂直平分线的性质可得AB=AC。【例1】已知：中，为的中点，平分于，连结，若，求的长【答案】【分析】延长CG交AB于点E. 根据等腰三角形的判定与性质得CG=EG，AE=AC,再根据三角形中位线的性质得出DG=BE=（AB-AC），从而得出的长【解析】解：延长CG交AB于点EAG平分，于， ，为的中点，故答案为.【例2】如图，在菱形中，点、分别为边、的中点，连接，求证：【答案】见解析【分析】连接、，交于点，根据三角形的中位线定理知，在菱形中，易知，解直角三角形OBC知BO=BCsin60=,从而得证【解析】证明：如图，连接、，交于点，、分别是、的中点，在菱形中，【例3】已知：如图，在ABC 中，D在边AB上（1）若ACD =ABC ，求证：AC2 = AD AB；（2）若E为CD 中点，ACD =ABE，AB = 3，AC=2，求BD的长【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】(1)利用两组角分别相等，可证相似，然后对应边成比例，变形即可求解；(2)过C作CFEB交AB的延长线于F，转化成(1)中的相似关系，列比例式，代入AB和AC的值即可求解【解析】(1)在和中，A=A， ；(2)过C作CFBE交AB的延长线于F，由于为中点，BF=BD，F=ABE，A=A，则，解得：BD=一、单选题1如图，在平行四边形中，与交于点O，点E是边的中点，则的长是（）A1B2C3D4【答案】B【分析】根据平行四边形的性质证明点O为AC的中点，而点E是BC边的中点，可证OE为ABC的中位线，利用中位线定理解题即可【解析】解：由平行四边形的性质可知AO=OC， 而E为BC的中点，即BE=EC， OE为ABC的中位线， OE=AB，由OE=1，得AB=2 故选B2如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点若OE=2cm，则AB的长为（）A4cmB8cmC2cmD6 cm【答案】A【分析】根据平行四边形的性质，得到OA=OC，结合EC=EB，得到OE是ABC的中位线，根据中位线定理，得到AB=2OE计算选择即可【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC，因为EC=EB，所以OE是ABC的中位线，所以AB=2OE，因为OE=2，所以AB=4(cm)故选A3如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若DE=4，则BC等于（）A2B4C8D10【答案】C【分析】根据三角形中位线定理计算即可【解析】解：D、E分别是AB、AC边上的中点，DE=4，BC=2DE=24=8，故选：C4如图，在矩形中，平分交于点点，分别是，的中点，则的长为（）ABCD【答案】B【分析】由AE平分BAD得BAE=DAE，根据矩形ABCD可得ABE是等腰直角三角形，所以BE=AB=6，从而可求EC=2，连接DE，由勾股定理得DE的长，再根据三角形中位线定理可求FG的长【解析】解：连接，如图所示：四边形是矩形，ADBC，平分，点、分别为、的中点，是的中位线，；故选：B二、填空题5如图，已知在RtABC中，ACB90，点D是AC延长线上的一点，AD24，点E是BC上一点，BE10，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN_【答案】13【分析】连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，由中位线定理可得NF、MF的长度，再根据勾股定理求出MN的长度即可【解析】连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，如图所示M、N、F分别是AB、DE、BD的中点NF、MF分别是BDE、ABD的中位线在中，由勾股定理得故答案为：136如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC=5，CD=3，EF=2，AFE=45，则ADC的度数为_【答案】135【分析】连接BD，根据三角形中位线定理得到EFBD，BD2EF4，根据勾股定理的逆定理得到BDC90，计算即可【解析】解：连接BD，E、F分别是边AB、AD的中点，EF2，EFBD，BD2EF4，ADBAFE45，又BC5，CD3，BD2+CD225，BC225，BD2+CD2BC2，BDC90，ADCADB+BDC135，故答案为：1357梯形ABCD中，点E，F，G分别是BD，AC，DC的中点，已知：两底差是3，两腰的和是6，则EFG的周长是_【答案】【分析】连接AE，并延长交CD于K，利用“AAS”证得AEBKED，得到DK=AB，可知EF，EG、FG分别为AKC、BDC和ACD的中位线，由三角形中位线定理结合条件可求得EF+FG+EG，可求得答案【解析】连接AE，并延长交CD于K，ABCD，BAE=DKE，ABD=EDK，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点BE=DE，在AEB和KED中，AEBKED（AAS），DK=AB，AE=EK，EF为ACK的中位线，EF=CK=(DC-DK) =(DC-AB)，EG为BCD的中位线，EG=BC，又FG为ACD的中位线，FG=AD，EG+GF=(AD+BC)，两腰和是6，即AD+BC=6，两底差是3，即DC-AB=3，EG+GF=3，FE=，EFG的周长是3+=故答案为：8如图，正方形ABCD的边长为2，点E，点F分别是边BC，边CD上的动点，且BECF，AE与BF相交于点P若点M为边BC的中点，点N为边CD上任意一点，则MN+PN的最小值等于_【答案】【分析】作M关于CD的对称点Q，取AB的中点H，连接PQ与CD交于点N，连接PH，HQ，当H、P、N、Q四点共线时，MN+NPPQ的值最小，根据勾股定理HQ，再证明ABEBCF，进而得APB为直角三角形，由直角三角形的性质，求得PH，进而求得PQ【解析】解：作M关于CD的对称点Q，取AB的中点H，连接PQ与CD交于点N，连接PH，HQ，则MNQN，四边形ABCD是正方形，ABBC，ABCD，ABCBCD90，在ABE和BCF中，ABEBCF（SAS），AEBBFC，ABCD，ABPBFCAEB，BAE+AEB90，BAE+ABP90，APB90，PH，M点是BC的中点，BMMCCQ，PH+PQHQ，当H、P、Q三点共线时，PH+PQHQ 的值最小，PQ的最小值为，此时，若N与N重合时，MN+PNMN+PNQN+PNPQ的值最小，故答案为9如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=OB，E为AC上一点，BE平分ABO，EFBC于点F，CAD=45，EF交BD于点P，BP=，则BC的长为_【答案】4【分析】过点E作EMAD，由ABO是等腰三角形，根据三线合一可知点E是AO的中点，可证得EM=AD=BC，根据已知可求得CEF=ECF=45，从而得BEF=45，BEF为等腰直角三角形，可得BF=EF=FC=BC，因此可证明BFPMEP（AAS），则EP=FP=FC，在RtBFP中，利用勾股定理可求得x，即得答案【解析】过点E作EMAD，交BD于M，设EM=x，AB=OB，BE平分ABO，ABO是等腰三角形，点E是AO的中点，BEAO，BEO=90，EM是AOD的中位线，又ABCD是平行四边形，BC=AD=2EM=2x，EFBC， CAD=45，ADBC，BCA=CAD=45，EFC=90，EFC为等腰直角三角形，EF=FC，FEC=45，BEF=90-FEC=45，则BEF为等腰直角三角形，BF=EF=FC=BC=x，EMBF，EMP=FBP，PEM=PFB=90，EM=BF，则BFPMEP（ASA），EP=FP=EF=FC=x，在RtBFP中，即：，解得：，BC=2=4，故答案为：410如图，梯形ABCD中，将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处联结AE、BE，设BE与边AD交于点F，如果，且，那么梯形ABCD的中位线等于_【答案】8【分析】由根据三角形的面积公式，由得，进而求得DE=2，从而求得底边EC的长，于是可求得CD的长，进而求得梯形ABCD的中位线【解析】解：过点B作BMCE于点M，如下图，ADC=180-A=180-90=90，DE=2，BMCE，BMD=90，四边形ABMD是矩形，DM=AB=4，EM=2+4=6，将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处，BE=BC，BMCE，EC=2EM=12，CD=12-2=10，梯形ABCD的中位线为：，故答案为：811如图，平行四边形中，对角线，交于点，分别是，的中点下列结论正确的是_（填序号）；平分；平分；四边形是菱形【答案】【分析】由中点的性质可得出，且，结合平行即可证得结论成立，由得出，即而得出，由中线的性质可知，且，通过证得出得出成立，再证得出成立，此题得解【解析】解：令和的交点为点，如图、分别是、的中点，且，四边形为平行四边形，且，（两直线平行，内错角相等），点为的中点，