专题09 三角形中的垂线段最短模型【模型1】垂线段最短如图，已知点P是直线外一点，过点P作，则PB是直线外一点P与直线上各点的连线中最短的线段。【模型2】两条线段的和最小值问题如图，已知点是内任意一点，点、是，上的动点，求的最小值，通常作点关于的对称点，过点作于点，交于点。此时的值最小。【例1】如图，AD是等边ABC的BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上动点，当EF+CF取得最小值时，则ECF的度数为（）A15B22.5C30D45【答案】C【分析】过点B作BEAC于点E，交AD于点F，连接CF，根据垂线段最短可知此时EF+CF取得最小值，再利用等边三角形的性质求解即可【解析】解：如图：过点B作BEAC于点E，交AD于点F，连接CF，根据垂线段最短可知此时EF+CF取得最小值，ABC是等边三角形，AEEC，AFFC，FACFCA，AD是等边ABC的BC边上的中线，BADCAD30，ECF30故选：C【例2】如图RtABC，AB=5，BC=3，若动点P在边AB上移动，则线段CP的最小值是_【答案】【分析】过作于，由垂线段最短可知，当点P运动到点的位置时，CP最小，由勾股定理可得出，再由，即可得出答案【解析】解：过作于，由垂线段最短可知，当点P运动到点的位置时，CP最小，在中，则线段CP的最小值是:，故答案为：【例3】如图，在RtABC中，ACB=90，BAC=30，BC=8cm，点D为线段AB上的一个动点，从点A出发沿线段AB向点B运动，速度为2cm/s(1)求AB，AC的长度；(2)如图，连接CD，线段CD是否有最小值；若有最小值，请求出这个最小值及此时时间t的值；若没有最小值，请说明理由；(3)若点E为线段AC的中点，连接DE，当ADE为等腰三角形时，求时间t的值【答案】(1)，的长度分别是16cm、cm(2)最小值为cm，t=6s(3)t=2s或或【分析】（1）根据含直角三角形的性质及勾股定理即可得到答案；（2）依题意得，当时，有最小值，可得、，根据可得答案；（3）依题意得，分三种情况：当时，当时，当时，结合方程求解即可【解析】（1）在中，AB=2BC=16cm，由勾股定理得：，答：，的长度分别是、（2）依题意得，当时，有最小值，此时，在中，由勾股定理得：，由得，最小值为，（3）依题意得，当时，由，当时，如图所示，过D作DFAE于F，点在的垂直平分线上，且cm，AD=2DF，由勾股定理得cm，由得，当时，如图所示，过E作EGAD于G，点在的垂直平分线上，且AD=2AG，cm，由勾股定理得（cm)，由得，综上，或或一、单选题1如图，AP平分CAB，PDAC于点D，若PD6，点E是边AB上一动点，关于线段PE叙述正确的是（）APE6BPE6CPE6DPE6【答案】D【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等以及点到直线的距离中，垂线段最短即可求解【解析】解：过P点作PHAB于H，如图，AP平分CAB，PDAC，PHAB，PHPD6，点E是边AB上一动点，PE6故选：D2如图，从位置O到直线公路l有四条小道，其中路程最短的是（）AOABOBCOCDOD【答案】C【分析】根据垂线的性质即可得到结论【解析】解：根据垂线段最短得，能最快到达公路l的小道是OC，故选C3如图，在RtABC中，AC6，BC8，AB10，AD是的平分线，若P，Q分别是AD何AC上的动点，则PCPQ的最小值是（）A2.4B4C4.8D5【答案】C【分析】由题意可以把Q反射到AB的O点，如此PC+PQ的最小值问题即变为C与线段AB上某一点O的最短距离问题，最后根据“垂线段最短”的原理得解【解析】解：如图，作Q关于AP的对称点O，则PQ=PO，所以O、P、C三点共线时，CO=PC+PO=PC+PQ，此时PC+PQ有可能取得最小值，当CO垂直于AB即CO移到CM位置时，CO的长度最小，PC+PQ的最小值即为CM的长度，CM=，即PC+PQ的最小值为 ，故选C4如图，l是一条水平线，把一头系着小球的线一端固定在点A，小球从B到C从左向右摆动，在这一过程中，系小球的线在水平线下方部分的线段长度的变化是（）A从大变小B从小变大C从小变大再变小D从大变小再变大【答案】C【分析】根据题意可知：小球在以点A为圆心，以AB长为半径的圆弧上运动，据此即可解答【解析】解：根据题意可知：小球在以点A为圆心，以AB长为半径的圆弧上运动，如图：过点A作与点E，交弧BC于点G，AB=AG=AC，即，故系小球的线在水平线下方部分的线段长度的变化是从小变大再变小，故选：C5如图，中，平分，如果点，分别为，上的动点，那么的最小值是（）ABCD【答案】B【分析】先作垂直交于点，再作垂直，根据角平分线的性质：角分线上的点到角的两边距离相等，即可找到动点和，进而求得的最小值【解析】解：如图所示： 过点作于点，交于点，过点作于点，平分，中，即的最小值是，故选：B6如图，BDCD，垂足为D，ABD30，A90，且AD4，DC6，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（）A7.1B6.5C4.8D3.2【答案】C【分析】过D点作DHBC于H，如图，先根据含30度的直角三角形三边的关系得到BD=8，再利用勾股定理计算出BC=10，接着利用面积法计算出DH，然后根据垂线段最短求解【解析】解：过D点作DHBC于H，如图，A=90，ABD=30，BD=2AD=24=8，BDCD，BDC=90，BC=，DHBC=BDCD，DH=，DP的最小值为4.8故选：C二、填空题7如图，为上一动点，则的最小值为_【答案】4【分析】根据垂线段最短得出BPAC时，BP的值最小，根据角平分线的性质得出BP=BD，再求出答案即可【解析】解：当BPAC时，BP有最小值，DAB=BAC，ADB=90，BD=6，BPAC，BP=BD=4，即BP的最小值是4，故答案为：48在ABC中，E是AB边上的中点，且，点D是AB上一个动点，当CD取最小值时，DCE=_【答案】【分析】先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据垂线段最短可得当时，取最小值，则此时，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可得【解析】解：是边上的中点，由垂线段最短可知，当时，取最小值，则此时，故答案为：9如图，已知是的中线，点是边上一动点，若的面积为10，则的最小值为_【答案】2.5【分析】先利用中线求三角形ACM的面积，再求AC边上的高，根据垂线段最短得到答案【解析】解：AM是ABC的中线，=5，点M到AC的距离为：4=2.5，根据垂线段最短，则MP的最小值2.5故答案为：2.510如图，菱形ABCD中，E是对角线AC上的任意一点，则的最小值为_【答案】【分析】过点E作于点F，连接BF由菱形的性质可知，即得出，从而可得出，即当最小时最小由垂线段最短可知当时BF最小，求出的值即可【解析】如图，过点E作于点F，连接BF，四边形ABCD为菱形，当最小时最小，即最小由垂线段最短可知当时BF最小，如图，的最小值为故答案为：11如图，在菱形ABCD中，ABC60，BD平分ABC，BC3，点M为BC上一定点且BM1，在BC上有一动点Q，在BD上有一动点P，则PM+PQ的最小值为 _【答案】【分析】在BA上取一点，使得，连接，过点M作MNAB于点N根据锐角三角函数可得MN，再根据，可得，从而得到MN，即可求解【解析】解：如图，在BA上取一点，使得，连接，过点M作MNAB于点N在RtBMN中，MNB90，BM1，MBN60，MNBMsin60BD平分ABC，ABDCBD，BPBP，（SAS），MN，PM+PQ的最小值为，故答案为：12如图，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=6，OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为，点P关于OB对称的点为，当点P在直线NM上运动时，的面积最小值为_【答案】8【分析】连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得【解析】解：如图，连接，过点作交的延长线于，且，点关于对称的点为，点关于对称的点为，的面积为，由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为，的面积的最小值为，故答案为：8三、解答题13如图，点在直线外，点在直线上，连接选择适当的工具作图(1)在直线上作点，使，连接；(2)在的延长线上任取一点，连接；(3)在，中，最短的线段是_，依据是_【答案】(1)图见解析(2)图见解析(3)，垂线段最短【分析】（1）利用直角三角板作，再利用直尺连接即可得；（2）利用直尺连接即可得；（3）根据垂线段最短即可得【解析】(1)解：利用直角三角板和直尺作图如下：(2)解：利用直尺连接，作图如下：(3)解：在，中，最短的线段是，依据是垂线段最短，故答案为：，垂线段最短14如图，已知点P在AOC的边OA上，(1)过点P画OA的垂线交OC于点B；(2)画点P到OB的垂线段PM；(3)测量P点到OB边的距离： cm；(4)线段OP、PM和PB中，长度最短的线段是 ；理由是 【答案】(1)图形见解析；(2)图形见解析；(3)1.5；(4)PM，垂线段最短【分析】（1）根据垂线的定义画出图形即可（2）根据垂线段的定义画出图形即可（3）利用测量法解决问题即可（4）根据垂线段最短判断即可【解析】（1）如图，直线PB即为所求作（2）如图，线段PM即为所求作（3）PM约为1.5cm，故答案为：1.5（4）线段OP、P