专题15 共边共角相似模型【模型】如图，已知,要证,只需再知道一组对应角相等（两组对角分别相等的两三角形相似）或（两组对应边成比例且其夹角对应相等的两三角形相似）即可证明【例1】如图，在中，是斜边上的高，则图中的相似三角形共有（）A1对B2对C3对D4对【例2】如图，在中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使，那么可添加的条件是_【例3】定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”(1)如图，若点D是的边AB的中点，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由；(2)如图，在中，若点D是的“理想点”，求CD的长一、单选题1如图，点是的边上的一点，若添加一个条件，使与相似，则下列所添加的条件错误的是（）ABCD2如图，在ABC中，ADBC，点D为垂足，为了证明BAC90，以下添加的等积式中，正确的有（）A1个B2个C3个D4个3如图，D是ABC的边AB上一点，要使ACDABC，则具备的条件可以是（）ABCD4如图，D是ABC的边AB上一点，下列条件：ACDB；BACB，其中一定使ABCACD的有（）A1个B2个C3个D4个5如图，已知在等腰RtABC中，ACB90，AD为BC边的中线，过点C作CEAD于点E，交AB于点F若AC2，则线段EF的长为（）ABCD6如图，在ABC中，DEBC，过点A作AMBC于M，交DE于N，若SADE：SABC4：9，则AN：NM的值是（）A4：9B3：2C9：4D2：17如图，在中，点在AB边上，若，则线段CD的长为（）A4B5CD8如图，在中，将绕顶点A逆时针旋转至，此时点D在上，连接，线段分别交于点H、K，则下列四个结论中：；是等边三角形；当时，；正确的是（）ABCD二、填空题9如图，在ABC中，D是AB边上的一点，若ACD=B，AD=2，BD=3，则AC的长为10如图，和分别是和的高，若，则与的周长之比为_与的面积之比为_11如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O点E在CD上，且DE：EC1：3，连接BE交AC于点F，若OF，则正方形的边长为_12如图，已知，点M、N分别是、的中点，则_13如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AF平分BAC，交DE于点G，交BC于点F若AEDB，且AG：GF3：2，则DE：BC_14将一副三角尺（在RtABC中，ACB90，B60；在RtDEF中，EDF90，E45）如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C将DEF绕点D顺时针方向旋转角（060），DE交AC于点M，DF交BC于点N，则_15如图，ABC中，CEAB，BFAC，若A60，EF2，则BC_16如图，在ABC中，AB=AC=6D是AC中点，E是BC上一点，BE=，AED=B，则CE的长为_三、解答题17如图，在三角形ABC中，AB8cm，BC16cm，点P从点A开始沿边AB运动，速度为2cm/s，点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s，如果点P、Q两动点同时运动，何时QBP与ABC相似？18已知，如图，ABC中，AB2，BC4，D为BC边上一点，BD1，AD+AC=8（1）找出图中的一对相似三角形并证明；（2）求AC长19如图，在ABC中，D为BC边上的一点，且AC=，CD4，BD2，求证：ACDBCA20已知：如图，在中，D是AC上一点，联结BD，且ABD =ACB（1）求证：ABDACB；（2）若AD=5，AB= 7，求AC的长.21【基础巩固】（1）如图1，在ABC中，D为AB上一点，ACDB求证：AC2ADAB【尝试应用】（2）如图2，在ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，BFEA若BF4，BE3，求AD的长22如图，在RtABC中，ACB90，点D在AB上，且（1）求证 ACDABC；（2）若AD3，BD2，求CD的长23如图，AB是O的直径，点C在O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，COB2PCB（1）求证：CP是O的切线；（2）若M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB6，求MCMN的值24如图，在ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，BADECA（1）求证：AC2BCCD；（2）若AD是ABC的中线，求的值25（1）如图1，在中，为上一点，求证：（2）如图2，在中，是上一点，连接，已知，求证：（3）如图3，四边形内接于，、相交于点已知的半径为2，求四边形的面积26如图1，四边形内接于是的直径，延长交的延长线于点（1）证明：（2）当时，求的长度如图2，作平分交于点，连结，求的面积27如图1，在菱形ABCD中，AC是对角线，ABAC6，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且满足AEBF，连接AF与CE相交于点G（1）求的度数（2）如图2，作交CE于点H，若CF4，求GH的值（3）如图3，点O为线段CE中点，将线段EO绕点E顺时针旋转60得到线段EM，当构成等腰三角形时，请直接写出AE的长28在RtABC中，ACB=90，点D为AB上一点（1）如图1，若CDAB，求证：AC2=ADAB；（2）如图2，若AC=BC，EFCD交CD于H，交AC于F，且，求的值；（3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，AHD=45，CH=3DH，则tanACH的值为_29如图，在RtABC中，C=90，AC=4cm，BC=3cm动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0t2.5）（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由30我们定义：对角线垂直的凸四边形叫做“准筝形”如图 1，四边形 ABCD 中，ACBD，则四边形 ABCD 是“准筝形”（1）“三条边相等的准筝形是菱形”是 命题；（填“真” 或“假”）（2）如图 1，在准筝形 ABCD 中，AD3，AB2，BC4，求 CD的长（3）如图 2， 在准筝形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，点 P 在线段 AD 上，AP2，且 AD3， AO =，在 BD 上存在移动的线段EF，E 在 F 的左侧，且 EF1，使四边形 AEFP 周长最小，求此时OE 的长度