专题06 三角形中的双角平分线模型【模型1】双角平分线模型如图，已知在中，BO，CO分别是，的平分线，根据角平分线的性质和三角形内角和定理，可得。【模型2】一内角一外角平分线模型如图，已知在中，BP，CP分别是，的平分线，；【模型3】双外角平分线模型如图，已知在中，BP，CP分别是，的平分线，根据外角定理，又，；【例1】如图，在ABC中，ABC和ACB的角平分线交于点O，延长BO与ACB的外角平分线交于点D，若BOC130，则D_【答案】40【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论【解析】解：ABC和ACB的角平分线交于点O，ACO=ACB，CD平分ACE，ACD=ACE，ACB+ACE=180，OCD=ACO+ACD=（ACB+ACE）=180=90，BOC130，D=BOC-OCD=130-90=40，故答案为：40【例2】如图，已知ABC，O是ABC内的一点，连接OB、OC，将ABO、ACO分别记为1、2，则1、2、A、O四个角之间的数量关系是（）A1+0=A+2B1+2+A+O=180C1+2+A+O=360D1+2+A=O【答案】D【分析】连接AO并延长，交BC于点D，由三角形外角的性质可知BOD=BAD+1，COD=CAD+2，再把两式相加即可得出结论【解析】解：连接AO并延长，交BC于点D，BOD是AOB的外角，COD是AOC的外角，BOD=BAD+1，COD=CAD+2，+得，BOC=（BAD+CAD）+1+2，即BOC=BAC+1+2故选：D【例3】（1）问题发现：如图1，在中，和的平分线交于，则的度数是_（2）类比探究：如图2，在中，的平分线和的外角的角平分线交于，则与的关系是_，并说明理由（3）类比延伸：如图3，在中，外角的角平分线和的外角的角平分线交于，请直接写出与的关系是_【答案】（1）110；（2）；（3）【分析】（1）根据三角形内角和定理求出ABC+ACB，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可；（2）根据三角形外角的性质得到ACE=ABC+A、PCE=PBC+BPC，根据角平分线的定义解答；（3）根据（1）的结论然后用角分线的定义，计算即可【解析】解：（1），和的平分线交于，故答案为110（2），证明：是的外角，是的外角，平分，平分，故答案为：；（3）由（1）得，故答案为：一、单选题1如图，在ABC中，ABC和ACB的外角平分线交于点O，设A=m，则BOC =（ ）ABCD【答案】B【分析】根据三角形的内角和，可得ABC+ACB，根据角的和差，可得DBC+BCE，根据角平分线的定义，可得OBC+OCB，根据三角形的内角和，可得答案【解析】解：如图： ，由三角形内角和定理，得ABC+ACB=180-A=180-m，由角的和差，得DBC+BCE=360-（ABC+ACB）=180+m，由ABC和ACB的外角平分线交于点O，得OBC+OCB=（DBC+BCE）=90+m，由三角形的内角和，得O=180-（OBC+OCB）=90-m故选：B2如图：、是、的角平分线，（）ABPC=70BBPC=140CBPC=110DBPC=40【答案】C【分析】首先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的性质可得，进而可求的度数，再次在中利用三角形内角和即可求解【解析】解：，又平分，平分，故选：C3如图，ABC中，E=18，BE平分ABC，CE平分ACD，则A等于（ ）A36B30C20D18【答案】A【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得ACD=A+ABC，ECD=E+EBC；由角平分线的性质，得ECD=（A+ABC），EBC=ABC，利用等量代换，即可求得A与E的关系，即可得到结论【解析】解：ACD=A+ABC，ECD=（A+ABC）又ECD=E+EBC，E+EBC=（A+ABC）BE平分ABC，EBC=ABC，ABC+E=（A+ABC），E=A=18，A=36故选A4如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：和都是等腰三角形；若，则其中正确的有（）个A1B2C3D4【答案】C【分析】根据等腰三角形的判断与性质和平行线的性质及三角形三边的关系即可求解【解析】解：BF是ABC的角平分线，CF是ACB的角平分线，ABF=CBF，ACF=BCF，DEBC，CBF=BFD，BCF=EFC（两直线平行，内错角相等），ABF=BFD，ACF=EFC，DB=DF，EF=EC，BDF和CEF都是等腰三角形，选项正确，符合题意；DE=DF+FE，DB=DF，EF=EC，DE=DB+CE，选项正确，符合题意；根据题意不能得出BFCF，选项不正确，不符合题意；若A=80，ABC+ACB=180-A=180-80=100，ABF=CBF，ACF=BCF，CBF+BCF=100=50，BFC=180-CBF-BCF=180-50=130，选项正确，符合题意；故正确故选C5如图，的角平分线交于点，若，则的度数（）ABCD【答案】A【分析】法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，根据三角形的内角和定理得到AABFAFBPPCFPFC180推出PPCFAABF，根据三角形的外角性质得到PPBEPED，推出PPBEPCDD，根据PB、PC是角平分线得到PCFPCD，ABFPBE，推出2PAD，代入即可求出P法二：延长DC，与AB交于点E设AC与BP相交于O，则AOBPOC，可得PACDAABD，代入计算即可【解析】解：法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，AABFAFBPPCFPFC180，AFBPFC，PPCFAABF，PPBEPED，PEDPCDD，PPBEPCDD，2PPCFPBEADABFPCD，PB、PC是角平分线PCFPCD，ABFPBE，2PADA48，D10，P19法二：延长DC，与AB交于点EACD是ACE的外角，A48，ACDAAEC48AECAEC是BDE的外角，AECABDDABD10，ACD48AEC48ABD10，整理得ACDABD58设AC与BP相交于O，则AOBPOC，PACDAABD，即P48（ACDABD）19故选A.二、填空题6如图，在中，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，则_（用表示）【答案】【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证A1=A，由于A1=A，A2=A1=A，以此类推可知A2020即可求得【解析】A1B平分ABC，A1C平分ACD，A1BC=ABC，A1CA=ACD，A1CD=A1+A1BC，即ACD=A1+ABC，A1=（ACD-ABC），A+ABC=ACD，A=ACD-ABC，A1=A，以此类推A2=A1=A=A,A3=A2=A=A，所以An=，故答案为：7如图，在中，如果与的平分线交于点，那么_ 度【答案】125【分析】先利用三角形内角和定理求出的度数，进而可求的度数，最后再利用三角形内角和定理即可求出答案【解析】 ， BD平分，CD平分 ，故答案为：1258如图在ABC中，BO，CO分别平分ABC，ACB，交于O，CE为外角ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记，则以下结论，正确的是_（把所有正确的结论的序号写在横线上）【答案】【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到122，BOC901，BOC902，再分析判断【解析】CE为外角ACD的平分线，BE平分ABC，DCEACD，DBEABC，又DCE是BCE的外角，2DCEDBE（ACDABC）1，故正确；BO，CO分别平分ABC，ACB，OBCABC，OCBACB，BOC180（OBCOCB）180（ABCACB）180（1801）901，故、错误；OC平分ACB，CE平分ACD，ACOACB，ACEACD，OCE（ACBACD）18090，BOC是COE的外角，BOCOCE2902，故正确；故答案为：9如图，的角平分线、相交于点，则_【答案】【分析】根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出OBC+OCB的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出BOC的度数【解析】解：OB、OC分别是ABC和ACB的角平分线，OBC+OCB= A=40，OBC+OCB= =70，BOC=180-（OBC+OCB）=180-70=110故答案是11010如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为_【答案】【分析】知道和是角平分线，就可以求出，的垂直平分线交于点F可以得到AF=FD，在直角三角形中30所对的边等于斜边的一半，再求出DE，得到【解析】解： 的垂直平分线交于点F