专题32 几何变换之旋转模型【理论基础】1.旋转的概念：将一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角.2.旋转三要素：旋转中心、旋转方形和旋转角度.3.旋转的性质(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)两组对应点分别与旋转中心连线所成的角度相等.注：图形在绕着某一个点进行旋转的时候，既可以顺时针旋转，也可以逆时针旋转.4.旋转作图：在画旋转图形时，首先要确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形.具体步骤如下：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求(顺/逆时针)绕旋转中心旋转一定的角度(旋转角)；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的对应点.5.旋转中的全等变换.(1)等腰直角三角形中的半角模型(2)正方形中的半角模型6.自旋转模型：有一组相邻的线段相等，可以通过构造旋转全等.(1)60自旋转模型(2)90自旋转模型(3)等腰旋转模型(4)中点旋转模型(倍长中线模型)7.共旋转模型(1)等边三角形共顶点旋转模型(2)正方形共顶点旋转模型8.旋转相似【例1】如图，在RtABC中，ABAC，D，E是斜边BC上两点，且DAE45，将ADC绕点A顺时针旋转90后，得到AFB，连接EF下列结论：AEDAEF；FAD90，BE+DCDE；ADC+AFE180其中结论正确的序号为（）ABCD【答案】C【分析】根据旋转的性质可得，FAD90，AFAD，BFDC，ABFC，从而证明FAEDAE，FBE90，进而可得EFDE，然后在RtBFE中，利用勾股定理，进行计算即可判断正确【解析】解：由旋转得：FAD90，AFAD，BFDC，ABFC，DAE45，FAEFADDAE45，FAEDAE，AEAE，FAEDAE（SAS），EFDE，AFEADE，ADC+ADE180，ADC+AFE180，上列结论，一定正确的是：，故选：C【例2】如图，点E为正方形ABCD外一点，AEB90，将RtABE绕A点逆时针方向旋转90得到ADF，DF的延长线交BE于H点，若BH7，BC13，则DH_【答案】17【分析】根据旋转的性质得出有关相等的角、相等的边，从而证明四边形AEHF为正方形，再根据勾股定理求出EH的长，就可得到DH【解析】解：将RtABE绕A点逆时针方向旋转90得到ADF，AEB90，AFAE，BE=DF，DFAEAFH90，EAF90，四边形AEHF为正方形，AFEH，设EHx，BH7，BE7+x，AFEFx，在正方形ABCD中，ADBC13，在RtAFD中，根据勾股定理，得，解得12（舍去），5，DH17故答案为：17【例3】如图，由绕点A按逆时针方向旋转90得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P(1)求BDE的度数；(2)F是EC延长线上的点，且判断和的数量关系，并证明；求证：【答案】(1)(2)，理由见详解；证明见详解【分析】（1）由旋转的性质得出，得出，可求出的度数；（2）由旋转的性质得出，证得，由三角形外角的性质可得出结论；过点作交于点，得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论【解析】（1）解：由绕点按逆时针方向旋转得到，在中，（2）证明：由旋转的性质可知，在中，证明：过点作交于点，又，又，（ASA），又，一、单选题1如图，P是等边三角形ABC内一点，将ACP绕点A顺时针旋转60得到ABQ，若PA2，PB4，则四边形APBQ的面积为（）ABCD【答案】B【分析】如图，连接PQ由题意PQA是等边三角形，利用勾股定理的逆定理证明PQB90即可解决问题【解析】解：如图，连接PQACP绕点A顺时针旋转60得到ABQ，APAQ2，PCBQ2，PAQ60，PAQ是等边三角形，PQPA2，PB4，PQB90，故选：B2如图，在中，若M是边上任意一点，将绕点A逆时针旋转得到，点M的对应点为点N，连接，则下列结论不一定成立的是（）ABC平分D【答案】D【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可【解析】解：将ABM绕点A逆时针旋转得到ACN，AB=AC，ACN=B，AM=AN，故选项A不符合题意；，故选项B不符合题意；，B=ACB，ACN=B，ACN=ACB，平分，故选项C不符合题意；CN与CM不一定相等，不一成立，故故选项D符合题意；故选：D3如图，在平面直角坐标系中，ABC中点A的坐标是(3，4)，把ABC绕原点O逆时针旋转得到，则点A的坐标为（）A(4，3)B(4，3)C(3，4)D(3，4)【答案】B【分析】连接，过点A作AEx轴于E，过点作轴于，根据旋转的性质可得，利用同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明AOE和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后写出点的坐标即可【解析】解：如图，连接，过点A作AEx轴于E，过点作轴于，则，点A的坐标是(3，4)，OA绕坐标原点O逆时针旋转至，在和中，点的坐标为（4，3）故选：B4如图，是边长为1的等边的中心，将AB、BC、CA分别绕点A、点B、点C顺时针旋转，得到、，连接、当的周长取得最大值时，此时旋转角的度数为（）A60B90C120D150【答案】D【分析】连接OA、OB、OC、由OAOC推出OO120，则有OOO，是等边三角形，当O、C、共线时，OOC+COC+CA+1时，O最长，此时（+1）1+，150【解析】解：如图，连接OA、OB、OC、O是等边三角形ABC是中心，BAOACO30，OAOC，BA AC，OAOC，在OA和OC中，OAOC（SAS），AOCO，OO，OAOC120，同理可证OO120，OO，则有OOO，是等边三角形，在O中，O120，OO，当O最长时，最长，OOC+C，当O、C、共线时，OOC+COC+CA+1时，O最长，此时（+1）1+，150，的周长的最大值为3+3故选：D5如图，正方形ABCD的边长为4，点E是直线CM上一个动点，连接BE，线段BE绕点B顺时针旋转45得到BF，连接DF，则线段DF长度的最小值等于（）ABCD【答案】B【分析】连接BD，在BD上截取BGBC，连接FG，过点D作于点H利用正方形的性质、勾股定理得出，利用旋转的性质得出，再证明，得出，可知点F在直线GF上运动，点F与点H重合时，DF的值最小，进而求出DH的值即可【解析】解：如图，连接BD，在BD上截取BGBC，连接FG，过点D作于点H四边形ABCD是正方形，边长为4，线段BE绕点B顺时针旋转45得到BF，在和中，点F在直线GF上运动，点F与点H重合时，DF的值最小，DF的最小值为故选B6如图，在中，O为AC的中点，M为BC边上一动点，将绕点A逆时针旋转角得到，点M的对应点为，连接，在旋转过程中，线段的长度的最小值是（）A1B1.5C2D3【答案】B【分析】如图：由题意知当旋转到点在AC的延长线上且AC与 垂直时， 的长度最小；旋转的性质可得，再根据直角三角形的性质可求得，由中点的定义可求得OA,最后计算即可【解析】解：由题意知当旋转到点在AC的延长线上且AC与 垂直时，的长度最小；将绕点A逆时针旋转角AC，O为AC的中点AO=3.5故选B7如图，矩形ABCD中，BC3，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PAPBPC的最小值是（）ABCD【答案】D【分析】将BPC绕点C逆时针旋转60，得到EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求【解析】解：将BPC绕点C逆时针旋转60，得到EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求由旋转的性质可知：PFC是等边三角形，PC=PF，PB=EF，PA+PB+PC=PA+PF+EF，当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，四边形ABCD是矩形，ABC=90，AC=2AB，ACB=30，BCE=60，ACE=90，故选：D8如图，在平面直角坐标系中，等腰直角OAB位置如图，OBA=90，点B的坐标为（1，0），每一次将OAB绕点O逆时针旋转90，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转得到OA1B1，第二次旋转得到OA2B2，以此类推，则点A2022的坐标是（）A(22022，22022)B(-22021，22021)C(22021，-22021)D(-22022，-22022)【答案】D【分析】AOB是等腰直角三角形，OA=1，根据等腰直角三角形的性质，可得点A(1，1)逆时针旋转90后可得，同理，依次类推可求得，这些点所位于的象限为每4次一循环，根据规律即可求出A2022的坐标【解析】是等腰直角三角形，点B的坐标为（1，0），A点坐标为(1，1)将绕原点逆时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，依此规律，点A旋转后的点所位于的象限为每4次一循环，即，点与同在一个象限内，点故选：D二、填空题9如图，在正方形ABCD中，点M是AB上一动点，点E是CM的中点，AE绕点E顺时针旋转90得到EF，连接DE，DF给出结论：DE=EF；CDF=45；若正方形的边长为2，则点M在射线AB上运动时，CF有最