专题02 角平分线模型模型分析【理论基础】角平分线的概念：如图，已知OC是的角平分线【模型变式1】双中点求和型如图已知OC是内任意一条射线，射线OE是的角平分线，射线OF是的角平分线【证明】射线OE是的角平分线，射线OF是的角平分线【模型总结】某个角内的一条射线，把这个角分成两个角，这两个角的平分线形成的角等于原来角的一半。【模型变式2】双中点求差型如图已知OB是外任意一条射线，射线OE是的角平分线，射线OF是的角平分线【证明】射线OE是的角平分线，射线OF是的角平分线【模型总结】某个角外的一条射线，以该射线为邻边的两个角的平分线形成的角等于原来角的一半。典例分析【例1】如图，已知和互余，、分别平分和，则_【答案】【分析】根据余角的定义以及角平分线的定义解答即可【解析】解：、分别平分和，又和互余，得：，解得：故答案为：【例2】如图，AOB=120，OC是AOB内部任意一条射线，OD，OE分别是AOC，BOC的角平分线，下列叙述正确的是（）ADOE的度数不能确定BAOD=EOCCAOD+BOE=60DBOE=2COD【答案】C【分析】依据OD、OE分别是AOC、BOC的平分线，即可得出AOD+BOE=EOC+COD=DOE=60，结合选项得出正确结论【解析】OD、OE分别是AOC、BOC的平分线，AOD=COD，EOC=BOE又AOD+BOE+EOC+COD=AOB=120，AOD+BOE=EOC+COD=DOE=60故选C【例3】如图，OM是AOC的平分线，ON是BOC的平分线(1)如图1，当AOB是直角，BOC60时，求MON的度数是多少？(2)如图2，当AOB，BOC60时，尝试发现MON与的数量关系；(3)如图3，当AOB，BOC时，猜想：MON与、有数量关系吗？直接写出结论即可；当CON3BOM时，直接写出、之间的数量关系【答案】(1)45(2)MON=(3) MON=；=或=【分析】（1）求出AOC的度数，再根据角平分线的定义求出MOC和NOC的度数，代入MON=MOC-NOC求出即可；（2）求出AOC的度数，再根据角平分线的定义求出MOC和NOC的度数，代入MON=MOC-NOC求出即可；（3）求出AOC的度数，再根据角平分线的定义求出MOC和NOC的度数，代入MON=MOC-NOC求出即可；分OM、ON在OB的异侧和同侧两种情况求解【解析】(1)AOB是直角，AOB=90 ，BOC=60 ，COA=AOB+ BOC=90 +60=150 OM 平分AOC，COM=COA=75， ON平分BOC， CON=BOC=30，MON=COM-CON=75-30=45(2)AOB=，BOC=60，COA=+60，OM 平分AOC，COM=COA=(+60)， ON平分BOC， CON=BOC=30，MON=COM-CON=(+60)-30=(3)AOB，BOC，COA=AOB+ BOC=+OM 平分AOC，COM=COA=(+)， ON平分BOC， CON=BOC=，MON=COM-CON=(+)- =当OM、ON在OB的异侧时，如图3-1，COM=(+)，BOC，BOM=(+)- =(-)，CON3BOM时，CON =，=3(-)，=；当OM、ON在OB的同侧时，如图3-2，COM=(+)，BOC，BOM= -(+) =(-)，CON3BOM时，CON =，=3(-)，=综上可知，=或=模型演练一、单选题1如图，直线ABCD，直线EF分别交AB，CD于点G，HGM平分BGH，且GHM=48，那么GMD的度数为（）A96B104C114D124【答案】C【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出BGH，再根据角平分线的定义可得BGM=BGH，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解【解析】解：ABCD，BGH=180-GHM=180-48=132，GM平分BGH，BGM=BGH =132=66，ABCD，GMD=180-BGM =180-66=114故选：C2如图，AOC与BOC互为余角，OD平分BOC，EOC2AOE若COD18，则AOE的大小是（）A12B15C18D24【答案】C【分析】利用角平分线求出BOC36，利用AOC与BOC互为余角，求出AOC90-36=54，再根据EOC2AOE，即可求出AOE=18【解析】解：COD18，OD平分BOC，BOC36，AOC与BOC互为余角，AOC90-36=54EOC2AOE，3AOE=54，AOE=18故选：C3如图，直线AB，CD，EO相交于点O，已知OA平分EOC，若EOC:EOD2:3，则BOD的度数为（）A40B37C36D35【答案】C【分析】根据与得到，根据 平分得到 ，最后根据对顶角相等即可求出【解析】解：， ，平分， ，故选：C4如图，直线AC和直线BD相交于点O，OE平分BOC若1+280，则3的度数为（）A40B50C60D70【答案】D【分析】根据对顶角和邻补角的定义即可得到的度数，再根据角平分线即可得出的度数【解析】解：，又平分，故选：D5（2022山东东营二模）如图，点O在上，平分，则的度数是（）ABCD【答案】D【分析】根据，D110，求出AOD70，DOB110，利用OE平分BOD，得到DOE55，由FOE90求出DOF905535，即可求出AOF的度数【解析】解：，AOD+D180，DOB=D，D110，AOD70，DOB110，OE平分BOD，DOE55，OFOE，FOE90，DOF905535，AOFAODDOF703535，故D正确故选：D二、填空题6（2022湖南长沙七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分，OF平分若，则的度数为_【答案】33【分析】先根据对顶角相等求出，再由角平分线定义得，由邻补角得，再根据角平分线定义得，从而可得结论【解析】解：是对顶角， OE平分，OF平分又，故答案为：337如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分BOD，OF平分COE若BOF=30，则DOE=_【答案】40【分析】利用角平分线定义列式计算即可求出所求【解析】解：OE平分BOD，BOE=DOE，设BOE=DOE=x，则有COE=180-x，OF平分COE，EOF=（180-x）=90-x，由题意得：EOF-BOE=BOF=30，即90-x-x=30，解得：x=40，则DOE=40故答案为：408如图，直线、交于点，是的平分线，是的平分线，则_【答案】【分析】根据邻补角求得，根据，求得，进而求得，根据对顶角求得，根据角平分线的定义求得，根据即可求解【解析】解：，是的平分线，是的平分线，又，故答案为：9如图，已知射线在内部，平分，平分，平分，现给出以下4个结论：；其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号）_【答案】【分析】根据平分，平分，平分，得出，求出，即可得出结论；根据角度之间的关系得出，得出，即可得出结论；无法证明；根据，得出，即可得出结论【解析】解：平分，平分，平分，即，故正确；，故正确；与不一定相等，故错误；根据解析可知，故正确；综上分析可知，正确的有故答案为：10如图，COD在AOB的内部，且，若将COD绕点O顺时针旋转，使COD在AOB的外部，在运动过程中，OE平分BOC，则DOE与AOC之间满足的数量关系是 _【答案】或【分析】分情况讨论：当旋转的角度不超过时，当旋转的角度超过，不超过时，画出旋转后的图，利用角之间的关系计算即可【解析】解：当旋转的角度不超过时，如图：， OE平分BOC，当旋转的角度超过，不超过时，如图， OE平分BOC，三、解答题11如图，已知AOB=90，EOF=60，OE平分AOB，OF平分BOC，求AOC和COB的度数【答案】120，30【分析】先根据角平分线，求得的度数，再根据角的和差关系，求得的度数，最后根据角平分线，求得、的度数【解析】OE平分AOB，AOB=90BOE=AOB =45又EOF=60BOF=EOFBOE= 15又OF平分BOCBOC=2BOF=30AOC=AOBBOC=120故AOC=120，COB=3012如图，为直线上的一点，平分，(1)求的度数；(2)是的平分线吗？为什么？【答案】(1)(2)是的平分线，理由见解析【分析】（1）由角平分线的性质可知1的度数，再利用互补即可算出BOD的度数；（2）想要判断OE是否为BOC的平分线，只需分别计算出3和4的度数，看它们是否相等【解析】（1）解：，平分，；（2）解：是的平分线 理由如下：，是的平分线13已知O为直线AB上一点，过点O向直线AB上方引两条射线OC，OD，且OC平分（）请在图