专题11 全等三角形中的一线三等角模型【模型1】三垂直全等模型【说明】上图三垂直模型中，只要知道一组对应边相等，即可证明两三角形全等。【模型2】一线三直角全等模型【说明】上图中的两个三角形中三组对应角相等，只要知道一组对应边相等，即可证明两三角形全等。【模型3】一线三等角与一组对应边相等全等模型【说明】上图中可根据平角的概念和三角形内角和定理可求得的两个三角形中三组对应角相等，只要再知道一组对应边相等，即可证明两三角形全等。【例1】如图，ACCE，ACE90，ABBD，EDBD，AB6cm，DE2cm，则BD等于（）A6cmB8cmC10cmD4cm【答案】B【分析】根据题意证明即可得出结论【解析】解：ABBD，EDBD，ACE90，在和中，故选：B【例2】如图所示，中，直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F若，则_【答案】7【分析】根据全等三角形来实现相等线段之间的关系，从而进行计算，即可得到答案；【解析】解：BEl，CFl，AEB=CFA=90EAB+EBA=90又BAC=90，EAB+CAF=90EBA=CAF在AEB和CFA中AEB=CFA，EBA=CAF，AB=AC，AEBCFAAE=CF，BE=AFAE+AF=BE+CFEF=BE+CF，；故答案为：7【例3】（1）观察理解：如图1，ACB90，ACBC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BDl，AEl，垂足分别为D，E，求证：AECCDB （2）理解应用：如图2，过ABC边AB、AC分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I利用（1）中的结论证明：I是EG的中点（3）类比探究：将图1中AEC绕着点C旋转180得到图3，则线段ED、EA和BD的关系_；如图4，直角梯形ABCD中，ABBC，AD2，BC3，将腰DC绕D点逆时针旋转90至DE，AED的面积为 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）ED=EABD；1【分析】（1）根据同角的余角相等可得ABCD，再利用AAS证得AECCDB，即可；（2）分别过点E、G向HI作垂线，垂足分别为M、N，由（1）可证得EMAAHB，ANGCHA，从而得到EM=GN，可得到EMIGNI，从而得到EI=IG，即可求证；（3）由（1）得：AECCDB，可得CE=BD，AE=CD，即可；过点C作CPAD交AD延长线于点P，过点E作EQAD交AD延长线于点Q，根据旋转的性质可得根据题意得：CDE=90，CD=DE，再由（1）可得CDPDEQ，从而得到DP=EQ，然后根据两平行线间的距离，可得AP=BC，进而得到PD=1，即可求解【解析】（1）证明：BDl，AEl，AECBDC90，又ACB90A+ACEACE+BCD90，ABCD，在AEC和CDB中，AECCDB（AAS）； （2）证明：分别过点E、G向HI作垂线，垂足分别为M、N，由（1）得：EMAAHB，ANGCHA，EMAH，GN=AH，EM=GN，在EMI和GNI中，EMIGNI（AAS）；EI=IG，即I是EG的中点；（3）解：由（1）得：AECCDB，CE=BD，AE=CD，ED=CD-CE，ED=EABD ；故答案为：ED=EABD如图，过点C作CPAD交AD延长线于点P，过点E作EQAD交AD延长线于点Q，根据题意得：CDE=90，CD=DE，由（1）得：CDPDEQ，DP=EQ，直角梯形ABCD中，ABBC，ABAD，ABCP，BCCP，BC=3，AP=BC=3，AD=2，DP=AP-AD=1，EQ=1，ADE的面积为故答案为：1一、单选题1如图，点P，D分别是ABC边BA，BC上的点，且，连结PD，以PD为边，在PD的右侧作等边DPE，连结BE，则BDE的面积为（）AB2C4D【答案】A【分析】要求的面积，想到过点作，垂足为，因为题目已知，想到把放在直角三角形中，所以过点作，垂足为，利用勾股定理求出的长，最后证明即可解答【解析】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，在中，是等边三角形，的面积，故选：A2课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间(如图)，ACB90，ACBC，从三角板的刻度可知AB20cm，小聪想知道砌墙砖块的厚度(每块砖的厚度相等)，下面为砌墙砖块厚度的平方的是（）Acm2Bcm2Ccm2Dcm2【答案】A【分析】设每块砖的厚度为xcm，则AD=3xcm，BE=2xcm，然后证明DACECB得到CD=BE=2xcm，再利用勾股定理求解即可【解析】解：设每块砖的厚度为xcm，则AD=3xcm，BE=2xcm，由题意得：ACB=ADC=BEC=90，ACD+DAC=ACD+BCE=90，DAC=ECB，又AC=CB，DACECB（AAS），CD=BE=2xcm，故选A3一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a8cm，则DE的长为（）A40cmB48cmC56cmD64cm【答案】C【分析】由等腰直角三角形的性质可得ACB90，ACCB，因此可以考虑证明ACD和CBE全等，可以证明DE的长为7块砖的厚度的和【解析】解：由题意得ADCCEBACB90，ACCB，ACD90BCECBE，在ACD和CBE中，ACDCBE（AAS），CDBE3a，ADCE4a，DECD+CE3a+4a7a，a8cm，7a56cm，DE56cm，故选C二、填空题4如图，直线l1l3，l2l3，垂足分别为P、Q，一块含有45的直角三角板的顶点A、B、C分别在直线l1、l2、线段PQ上，点O是斜边AB的中点，若PQ等于，则OQ的长等于 _【答案】【分析】由“AAS”可证ACPCBQ，可得APCQ，PCBQ，由“AAS”可证APOBHO，可得APBH，OPOH，由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求解【解析】解：如图，连接PO，并延长交l2于点H，l1l3，l2l3，l1l3，APCBQCACB90，PAC+ACP90ACP+BCQ，PACBCQ，在ACP和CBQ中，ACPCBQ（AAS），APCQ，PCBQ，PC+CQAP+BQPQ，APBQ，OAPOBH，点O是斜边AB的中点，AOBO，在APO和BHO中，APOBHO（AAS），APBH，OPOH，BH+BQAP+BQPQ，PQQH，PQH90，PHPQ12，OPOH，PQH90，OQPH6故答案为：65如图，已知ABC是等腰直角三角形，ACB90，ADDE于点D，BEDE于点E，且点C在DE上，若AD5，BE8，则DE的长为_【答案】13【分析】先根据ADDE，BEDE，ADC=CEB=90，则DAC+DCA=90，ABC是等腰直角三角形，ACB=90，可得AC=CB，推出DAC=ECB，即可证明DACECB得到CE=AD=5，CD=BE=8，由此求解即可【解析】解：ADDE，BEDE，ADC=CEB=90，DAC+DCA=90，ABC是等腰直角三角形，ACB=90，DCA+BCE=90，AC=CBDAC=ECB，DACECB（AAS），CE=AD=5，CD=BE=8，DE=CD+CE=13，故答案为：13三、解答题6已知：如图，ABBD，EDBD，C是BD上的一点，ACCE，ABCD，求证：BCDE【答案】见解析【分析】根据直角三角形全等的判定方法，ASA即可判定三角形全等【解析】证明：ABBD，EDBD，ACCE（已知）ACEBD90（垂直的意义）BCA+DCE+ACE180（平角的意义）ACE90（已证）BCA+DCE90（等式性质）BCA+A+B180（三角形内角和等于180）B90（已证）BCA+A90（等式性质）DCEA （同角的余角相等）在ABC和CDE中，ABCCDE（ASA）BCDE（全等三角形对应边相等）7如图，B=C=FDE=80，DF=DE，BF=1.5cm，CE=2cm，求BC的长【答案】3.5【分析】由平角定义及三角形内角和定理解得，继而证明，得到，最后根据线段的和差解题【解析】解：B=C=FDE=80，在与中，8感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，由，可得 ；又因为，可得，进而得到_我们把这个模型称为“一线三等角”模型应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在中，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且求证：；当点P为BC中点时，求CD的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当为等腰三角形时，请直接写出BP的长【答案】感知：（1）；应用：（2）见解析；3.6；拓展：（3）2或【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解；（2）根据等腰三角形的性质得到B=C，根据三角形的外角性质得到BAP=CPD，即可求证；根据相似三角形的性质计算，即可求解；（3）分PA=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解【解析】感知：（1）ABCDAE，故答案为：；应用：（2）APC=B+BAP，APC=APD+CPD，APD=B，BAP=CPD，AB=AC，B=C，