专题04 三角形中的8字模型和燕尾模型【模型1】“8字”模型如图，已知AC与BD相交于点O，连接AD，BC；根据三角形内角和定理和对顶角相等可得；根据三角形两边之和大于第三边，可得。【模型变式1】如图已知BD与AC相交于点O，点E在OA上，连接AD，DE，BC；根据三角形内角和定理和对顶角相等可得。【模型变式2】如图DB与DG分别交AF于C点，E点，连接AB，GF；根据三角形内角和定理和对顶角相等可得。【模型2】“燕尾”型如图在四边形ABOC中，可根据外角定理：三角形的一个外角等于不与它相邻的两个内角的和，可得。【模型变式1】如图在中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，AE，BF，CD相交于点O。可得：【证明】如图，分别过点B，点C作BG垂直于AE于G点，作CP垂直于AG的延长线于P点。在中，；在和中,；同理可证：；【例1】如图，求和的度数【答案】，【分析】由，可得，根据三角形外角性质可得，因为，即可求得的度数；根据三角形外角的性质可得，即可得的度数【解析】解：，【例2】如图1，已知线段、相交于点O，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”试解答下列问题：(1)在图1中，请直接写出、之间的数量关系：_；(2)如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点P，并且与、分别相交于M、N请直接利用（1）中的结论，完成下列各题：仔细观察，在图2中“8字形”的个数：_个；若，试求的度数；若和为任意角，其他条件不变，试问与、之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出推理过程；若不存在，请说明理由；若和为任意角，试问与、之间是否存在一定的数量关系？若存在，请直接写出结论；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)6存在（理由见解析）存在，【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出结论（2）分别找到以交点M、O、N为顶点的能构成“8字形”的三角形，避免漏数利用“8字形”的数量关系并结合角平分线的定义，可求出的度数和同理利用“8字形”的数量关系并结合“，”即可得出结论【解析】(1)解：在中，在中，（对顶角相等）(2)解：以M为交点的有1个，即为和以O为交点的有4个，即为和，和，和，和解：AP平分，CP平分由（1）中的结论得：整理得：解：理由如下：AP平分，CP平分由（1）中的结论得：整理得：解：理由如下：由（1）中的结论得：整理得：一、单选题1如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，连接，若，则的度数为（）ABCD【答案】A【分析】由切线性质得出，根据三角形的内角和是、对顶角相等求出，即可得出答案；【解析】解：PA与O相切于点A，AD是O的直径，故选：A2如图，AB和CD相交于点O，AC，则下列结论中不能完全确定正确的是（）ABDB1ADC2DDCD【答案】D【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可【解析】AAODD180，CCOBB180，AC，AODBOC，BD，12AD，2D，故选项A，B，C正确，故选D3如图，1=60，则A+B+C+D+E+F=（）A240B280C360D540【答案】A【分析】根据三角形内角和定理得到B与C的和，然后在五星中求得1与另外四个角的和，加在一起即可【解析】解：由三角形外角的性质得：3=A+E，2=F+D，1+2+3=180，1=60，2+3=120，即：A+E+F+D=120，B+C=120，A+B+C+D+E+F=240故选A4如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，则的度数为ABCD【答案】C【解析】如图可知，又，又，又，故选5在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，那么的度数是（）ABCD【答案】A【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出再利用邻补角的性质求出，再根据四边形的内角和求出，根据邻补角的性质即可求出的度数【解析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图， 同理得 ,故选：A6如图所示，A+B+C+D+E的结果为（）A90B360C180D无法确定【答案】C【解析】如图，连接BC，D+E+DOE=BOC+OCB+BOC=180，DOE=BOC，D+E=OBC+OCB，又A+ABO+ACO+OBC+OCB=180，A+ABO+ACO+D+E=180故选：C二、填空题7如图，求A+B+C+D+E+F+G+H+I_【答案】900【分析】根据多边形的内角和，可得答案【解析】解：连EF，GI，如图，6边形ABCDEFK的内角和（62）180720，ABCDEF720（12），即ABCDEF（12）720，1234，56H180，ABCDEFH（34）900，ABCDEF（34）56H720180，ABCDEFGHI900，故答案为：9008如图，_【答案】180【分析】如图根据三角形的外角的性质，三角形内角和定理可知1B2，2DE，A1C180，由此不难证明结论【解析】解：如图，1B2，2DE，A1C180，ABDEC180，故答案为：1809如图，A+B+C+D+E+F+G+H_【答案】360【分析】连接CF，根据三角形的外角得到由三角形外角的性质可得：2GH，3AB，1DE45，根据四边形的内角和为360，可得：23GFE45DCB360即GHABGFEDEDCB360【解析】解：如图，连接FC，由三角形外角的性质可得：2GH，3AB，1DE45，根据四边形的内角和为360，可得：23GFE45DCB360即GHABGFEDEDCB360，故答案为36010如图，A+B+C+D+E+F+G+H_【答案】720【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得2与H、G的关系，1与2、D的关系，根据多边形的内角和公式，可得答案【解析】解：如图：由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得2HG，12D，1HGD，ABCDEFGHABCEFHGD180（62）270故答案为：720三、解答题11如图所示，已知四边形，求证【答案】见解析【分析】方法1连接BC，根据三角形内角和定理可得结果；方法2 作射线，根据三角形的外角性质得到，两式相加即可得到结论；方法3延长BD，交AC于点E，两次运用三角形外角的性质即可得出结论【解析】方法1如图所示，连接BC. 在中，即.在中，；方法2如图所示，连接AD并延长.是的外角，.同理，.即. 方法3如图所示，延长BD，交AC于点E.是的外角，.是的外角，.12如图，、分别平分和，若，求的度数.【答案】.【分析】根据三角形内角和定理用B、M表示出BAM-BCM，再用B、M表示出MAD-MCD，再根据角平分线的定义可得BAM-BCM=MAD-MCD，然后求出M与B、D关系，代入数据进行计算即可得解；【解析】解：根据三角形内角和定理，B+BAM=M+BCM，BAM-BCM=M-B，同理，MAD-MCD=D-M，AM、CM分别平分BAD和BCD，BAM=MAD，BCM=MCD，M-B=D-M，M=（B+D）=（42+54）=48；13如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，（1）若，求的度数；（2）若，求的度数【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据角平分线的定义可得ADP= ，然后利用三角形外角的性质即可得解；（2）根据角平分线的定义可得ADP=PDF，CBP=PBA，再根据三角形的内角和定理可得A+ADP=P+ABP，C+CBP=P+PDF，所以A+C=2P，即可得解【解析】解：（1）DP平分ADC，ADP=PDF=， ，；（2）BP平分ABC，DP平分ADC，ADP=PDF，CBP=PBA，A+ADP=P+ABP，C+CBP=P+PDF，A+C=2P，A=42，C=38，P=（38+42）=4014（1）如图，求A+B+C+D+E+F的度数；（2）如图，求A+B+C+D+E+F+G+H的度数；（3）如图，求A+B+C+D+E+F+G的度数【答案】（1）360；（2）720；（3）540【分析】（1）连接AD，根据三角形的内角和定理得BCBADCDA，进而将问题转化为求四边形ADEF的内角和，（2）与（1）方法相同转化为求六边形ABCDEF的内角和，（3）使用上述方法，转化为求五边形ABCDE的内角和【解析】解：（1）如图，连接AD，由三角形的内角和定理得，BCBADCDA，BAFBCCDEEFBAFBADCDADEF即四边形ADEF的内角和，四边形的内角和为360，BAFB