专题03 相交线与平行线中的M模型（含锯齿型）模型分析【模型1】M型（1）如图，已知，BF与DF相交于点F【证明】如图，延长BF交CD于点G又（2）如图，已知，BF与DF相交于点F【证明】如图，延长BF交CD于点G又【M型变式】如图，已知，是平行线内的两点【证明】分别过做，【模型2】锯齿型如图，已知，M、N是平行线内的两点，点P是线段CD上一点，连接BM、MN、NP,【证明】如图：分别过点M、N做典例分析【例1】如图，BCD70，ABDE，则与满足（）A+110B+70C70D+90【答案】B【分析】过点C作CFAB，根据平行线的性质得到BCF，DCF，由此即可解答【解析】如图，过点C作CFAB，ABDE，ABCFDE，BCF，DCF，BCD70，BCD =BCF+DCF+70，+70故选B【例2】如图，ABEF，设C90，那么x，y，z的关系式为_【答案】y=90-x+z【分析】作CG/AB，DH/EF，由AB/EF，可得AB/CG/HD/EF，根据平行线性质可得x=1，CDH=2，HDE=z，由C90，可得1+2=90，由y=z+2，可证y=z+90-x即可【解析】解：作CG/AB，DH/EF，AB/EF，AB/CG/HD/EF，x=1，CDH=2，HDE=zBCD901+2=90，y=CDH+HDE=z+2，2=90-1=90-x，y=z+90-x即y=90-x+z【例3】问题情境：如图，直线，点E，F分别在直线AB，CD上(1)猜想：若，试猜想_；(2)探究：在图中探究，之间的数量关系，并证明你的结论；(3)拓展：将图变为图，若，求的度数【答案】(1)(2)；证明见详解(3)【分析】（1）过点作，利用平行的性质就可以求角度，解决此问；（2）利用平行线的性质求位置角的数量关系，就可以解决此问；（3）分别过点、点作、，然后利用平行线的性质求位置角的数量关系即可【解析】(1)解：如图过点作， ，P=80故答案为：；(2)解：，理由如下：如图过点作，(3)如图分别过点、点作、， ， 故答案为：模型演练一、单选题1如图，点在上，则下列结论正确的个数是（）（1）；（2）；（3）；（4）A1个B2个C3个D4个【答案】B【分析】利用平行线的性质和三角形的性质依次判断即可求解【解析】解：ABCD，A+C180，又A110，C70，AEDC+D85，故（2）正确，C+D+CED180，D+CED110，ACED+D，故（3）正确，点E在AC上的任意一点，AE无法判断等于CE，BED无法判断等于45，故（1）、（4）错误，故选：B2如图,ABEF,D=90,则,的大小关系是（）ABCD【答案】D【分析】通过作辅助线,过点C和点D作CGAB,DHAB,可得CGDHAB,根据ABEF,可得ABEFCGDH,再根据平行线的性质即可得+-=90,进而可得结论【解析】解：如图,过点C和点D作CGAB,DHAB,CGAB,DHAB,CGDHAB,ABEF,ABEFCGDH,CGAB,BCG=,GCD=BCD-BCG=-,CGDH,CDH=GCD=-,HDEF,HDE=,EDC=HDE+CDH=90,+-=90,=+90-故选：D3如图，已知直线ab，1=40，2=60则3等于（）A100B60C40D20【答案】A【解析】解：过点C作CDa，ab，CDab，ACD=1=40，BCD=2=60，3=ACD+BCD=100故选A4如图，ABCD，点E，P在直线AB上（P在E的右侧），点G在直线CD上，EFFG，垂足为F，M为线段EF上的一动点，连接GP，GM，FGP与APG的角平分线交与点Q，且点Q在直线AB，CD之间的区域，下列结论：AEF+CGF90；AEF+2PQG270；若MGF2CGF，则3AEF+MGC270；若MGFnCGF，则AEFMGC90正确的个数是（）A4B3C2D1【答案】A【分析】过点F作FHAB，利用平行线的性质以及已知即可证明；利用角平分线的性质以及平行线的性质得到3=22，CGF+21+3=180，结合的结论即可证明；由已知得到MGC3CGF，结合的结论即可证明；由已知得到MGC(n+1)CGF，结合的结论即可证明【解析】解：过点F作FHAB，如图：ABCD，ABFHCD，AEF=EFH，CGF=GFH，EFFG，即EFG=EFH+GFH=90，AEF+CGF=90，故正确；ABCD，PQ平分APG，GQ平分FGP，APQ=2，FGQ=1，3=APQ+2=22，CGF+FGQ+1+3=CGF+21+3=180，即21=180-22-CGF，22+21=180-CGF，PQG=180-(2+1)，2PQG=360-2(2+1)= 360-(180-CGF)= 180+CGF，AEF+2PQG=AEF+180+CGF=180+90=270，故正确；MGF2CGF，MGC3CGF，3AEF+MGC3AEF+3CGF3(AEF+CGF)= 390270；3AEF+MGC270，故正确；MGFnCGF，MGC(n+1)CGF，即CGF=MGC，AEF+CGF=90，AEFMGC90，故正确综上，都正确，共4个，故选：A二、填空题5如图，AB/CD， 则_【答案】40【分析】首先过点作，由，即可得，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得的度数【解析】解：过点作，故答案为：6如图，平分，则_【答案】【分析】过E点作EMAB，根据平行线的性质可得BED=B+D，利用角平分线的定义可求得B+3D=132，结合B-D=28即可求解【解析】解：过E点作EMAB，B=BEM，ABCD，EMCD，MED=D，BED=B+D，EF平分BED，DEF=BED，DEF+D=66，BED+D=66，BED+2D=132，即B+3D=132，B-D=28，B=54，D=26，BED=80故答案为：807如图，已知ABCD，易得1+2+3=360，1+2+3+4 =540，根据以上的规律求1+2+3+n =_ 【答案】【分析】过点P作平行于AB的直线，运用两次两条直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和；分别过点P，Q作AB的平行线，运用三次平行线的性质，即可得到四个角的和；同样作辅助线，运用（n-1）次平行线的性质，则n个角的和是【解析】解：（1）如图，过点P作一条直线PM平行于AB，ABCD，ABPMABPMCD，1+APM=180，MPC+3=180，1+APC+3=360；（2）如图，过点P、Q作PM、QN平行于AB，ABCD，ABPMQNCD，1+APM=180，MPQ+PQN=180，NQC+4=180；1+APQ+PQC+4=540；根据上述规律，显然作（n-2）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补即可得到1+2+3+n =180（n-1）故答案为：三、解答题8（1）已知：如图（a），直线求证：；（2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？【答案】（1）见解析；（2）当点C在AB与ED之外时，见解析【分析】（1）由题意首先过点C作CFAB，由直线ABED，可得ABCFDE，然后由两直线平行，内错角相等，即可证得ABC+CDE=BCD；（2）根据题意首先由两直线平行，内错角相等，可得ABC=BFD，然后根据三角形外角的性质即可证得ABC-CDE=BCD【解析】解：（1）证明：过点C 作CFAB，ABED，ABEDCF，BCF=ABC，DCF=EDC，ABC+CDE=BCD；（2）结论：ABC-CDE=BCD，证明：如图：ABED，ABC=BFD，在DFC中，BFD=BCD+CDE，ABC=BCD+CDE，ABC-CDE=BCD若点C在直线AB与DE之间，猜想,ABEDCF，.9如图，点E在直线AB，CD内部，且（1）如图1，连接AC，若AE平分，求证：平分；（2）如图2，点M在线段AE上，若，当直角顶点E移动时，与是否存在确定的数量关系?并说明理由；若（为正整数），当直角顶点E移动时，与是否存在确定的数量关系?并说明理由【答案】（1）见解析；（2）BAE+MCD=90，理由见解析；BAE+MCD=90，理由见解析.【分析】（1）根据平行的性质可得BAC+DCA=180，再根据可得EAC+ECA=90，根据AE平分BAC可得BAE=EAC,等量代换可得ECD+EAC=90，继而求得DCE=ECA；（2）过E作EFAB，先利用平行线的传递性得出EFABCD，再利用平行线的性质及已知