专题08 三角形中的倍长中线模型【模型1】如图，已知AD是的边BC的中线，延长AD至点E，使得AD=DE，连接BE，结合BD=CD，可证得。【模型2】如图，已知点D是的边BC上的中点，点E是边AC上的一点，连接ED并延长ED至点P，使得ED=DP。结合BD=CD，可证得。【例1】如图，在ABC中，AB4，AC2，点D为BC的中点，则AD的长可能是（）A1B2C3D4【答案】B【分析】延长AD到E，使DEAD，连接BE证ADCEDB（SAS），可得BEAC2，再利用三角形的三边关系求出AE的范围即可解决问题【解析】解：延长AD到E，使DEAD，连接BE，在ADC和EDB中，ADCEDB（SAS），BEAC2，在ABE中，ABBEAEAB+BE，即22AD6，解得1AD3，故选：B【例2】如图，中，为边的中点，则 _【答案】【分析】由“”可证，可得，可得，由勾股定理的逆定理可求为直角三角形，即可求解【解析】解：延长到使，连接，如图所示：在和中，在中，为直角三角形，故答案为：【例3】（1）如图1，AD是ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接CE证明ABDECD；若AB5，AC3，设ADx，可得x的取值范围是_；（2）如图2，在ABC中，D是BC边上的中点，DEDF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BECFEF【答案】（1）见解析；1x4；（2）见解析【分析】（1）由AD是ABC的中线推出CDBD，再用SAS证明即可；（2）由ABDECD推出ABEC=5，由ED=AD推出AE=2x，由ACE三边关系将已求代入解不等式即可；（3）延长FD到G，使得DGDF，连接BG、EG用SAS证明CDFBDG，EDFEDG，从而得到CFBG，EFEG，最后利用在BEG的三边关系BE+BGEG得证【解析】（1）AD是ABC的中线，CDBD，在ABD与ECD中，ABDECD（SAS）1x4， 理由如下：ABDECD，AB5，ABEC=5，ED=AD，ADx，AE=2x由ACE三边关系得：，又AC3，解得：1x4故答案是：1x4（2）延长FD到G，使得DGDF，连接BG、EG D是BC边上的中点，CDDB在CDF与BDG中，CDFBDG（SAS）CFBG，DEDF，在EDF与EDG中，EDFEDGEFEG 在BEG中，BE+BGEG，即BE+CFEF一、单选题1如图，已知AD是ABC中BC边上的中线，AB5，AC3，则AD的取值范围是（）A2AD8B1AD4C2AD5D4AD8【答案】B【分析】如图所示，延长AD到E，使，连接CE，先证，得，再由三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围【解析】如图所示，延长AD到E，使，连接CE，AD是ABC中BC边上的中线，在与中，在中，由三角形三边关系得：，2在中，中线，则边的取值范围（）ABCD【答案】C【分析】延长AD至E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明ABD和ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围【解析】解：如图，延长AD至E，使DE=AD，AD是ABC的中线，BD=CD，在ABD和ECD中，ABDECD（SAS），AB=CE，AD=7，AE=7+7=14，14+5=19，14-5=9，9CE19，即9AB19故选：C3如图，在四边形中，点是的中点，则的长为（）A2BCD3【答案】C【分析】延长BE交CD延长线于P，可证AEBCEP，求出DP，根据勾股定理求出BP的长，从而求出BM的长【解析】解：延长BE交CD延长线于P，ABCD，EABECP，在AEB和CEP中，AEBCEP（ASA）BEPE，CPAB5又CD3，PD=2，BEBP故选：C4如图，中，为的中点，点为延长线上一点，交射线于点，连接，则与的大小关系为ABCD以上都有可能【答案】C【分析】如图，延长ED到T，使得DTDE，连接CT，TF，证明EDBTDC（SAS），推出BECT，由CTCFFT，可得BECFEF【解析】解：如图，延长到，使得，连接，在和中，故选：5在中，于点，点为的中点，若，则的度数是（）ABCD【答案】D【分析】连结CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，根据已知条件和平行四边形的性质可证明NAECFE，所以NECE，NACF，再由已知条件CDAB于D，ADE50，即可求出B的度数【解析】解：连结CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，四边形ABCF是平行四边形，ABCF，ABCF，NAEF，点E是的AF中点，AEFE，在NAE和CFE中， ，NAECFE（ASA），NECE，NACF，ABCF，NAAB，即BN2AB，BC2AB，BCBN，NNCB，CDAB于D，即NDC90且NECE，DENCNE，NNDE50NCB，B80故选：D6如图，在中，是中线，是角平分线，点是上任意一点（不与，重合），连接、给出以下结论：；其中一定正确的有（）A个B个C个D个【答案】B【分析】根据面积法可得，从而可得正确；由是中线，无法得出，故可判断错误；运用SAS证明得，在中运用三角形三边关系可得结论，从而判断；在上截取，连接，运用证明得，在中运用三角形三边关系可得结论，从而判断【解析】解：过作于，于，过作于，是角平分线，故正确；，平分，是中线，无法得出，故错误；延长到使，连接，是中线，在和中，在中，故正确；在上截取，连接，是角平分线，在和中，在中，即，故正确；综上正确故选B二、填空题7如图，在中，是边上的中线，则的取值范围是_【答案】【分析】延长AD至点E，使DE=AD，证明,由全等性质求出相关的线段长度，在中，由，代入数值即可得到答案【解析】解：延长AD至点E，使DE=AD，如下图：D是BC的中点BD=CD在和中：AD=5AE=10在中，由得：即：故答案为：8在ABC中，ABAC，点D是ABC内一点，点E是CD的中点，连接AE，作EFAE，若点F在BD的垂直平分线上，BAC，则BFD_（用含的式子表示）【答案】180【分析】根据全等三角形的性质得到EACEMD，ACDM，根据线段垂直平分线的性质得到AFFM，FBFD，推出MDFABF（SSS），得到AFBMFD，DMFBAF，根据角的和差即可得到结论【解析】解：延长AE至M，使EMAE，连接AF，FM，DM，点E是CD的中点，DECE，在AEC与MED中，AECMED（SAS），EACEMD，ACDM，EFAE，AFFM，点F在BD的垂直平分线上，FBFD，在MDF与ABF中，MDFABF（SSS），AFBMFD，DMFBAF，BFD+DFADFA+AFM，BFDAFM1802（DMF+EMD）180（FAM+BAF+EAC）180BAC180，故答案为：1809如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，FAD60，AE平分FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD5，CF3，则EF_【答案】4【分析】延长AE，BC交于点G，判定ADEGCE，即可得出CGAD5，AEGE，再根据三线合一即可得到FEAG，进而得出RtAEF中，EFAF4【解析】解：如图，延长AE，BC交于点G，点E是CD的中点，DECE，平行四边形ABCD中，ADBC，DECG，又AEDGEC，ADEGCE，CGAD5，AEGE，又AE平分FAD，ADBC，FAEDAEGDAF30，AFGF3+58，又E是AG的中点，FEAG，在RtAEF中，FAE30，EFAF4，故答案为：410在ABC中，AD是BC边上的中线，若AB3cm，AC5cm，则AD的取值范围是_【答案】1AD4【分析】连接AD并延长到点E，使DE=DA，连接BE，利用SAS证得BDECDA，进而得到BE=CA，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可求得AE的取值范围，进而求出AD的取值范围【解析】如图，连接AD并延长到点E，使DE=DA，连接BE，在ABC中，AD是BC边上的中线BD=CD在BDE和CDA中 BDECDA（SAS）BE=CA=5在ABE中，AB+BEAE，且ABBEAEAB=3，AC=52AE81AD4故答案为：1AD411如图，在正方形中，分别是、边上的点，将四边形沿直线翻折，使得点、分别落在点、处，且点恰好为线段的中点，交于点，作于点，交于点若，则_【答案】【分析】根据中点这个条件考虑倍长，构造出全等三角形，进而结合翻折得性质产生等腰三角形，综合等腰三角形的性质通过设未知数表示各线段，再通过相似三角形建立等式求解正方形的边长，最后利用三角函数值快速求解【解析】如图，连接B ，延长交于点，则，根据翻折的性质可得为等腰三角形，作于点，设，则正方形边长