专题16 一线三等角相似模型【模型1】一线三锐角相等如图16-1，已知，要证，可根据，结合，可证。【模型变式1】一线三直角如图16-2，已知，同一线三锐角相等模型可证得：。【模型变式2】一线三钝角相等如图16-3，已知，同一线三锐角相等模型可证得：。【例1】如图，将含30的直角三角尺放在矩形ABCD中，三角尺的30角的顶点与点B重合，其余角的顶点分别在AD和CD边的点E，F处，若点E恰好为AD的中点，则的值是()ABCD【答案】A【分析】根据两个角相等可证明ABEDEF，得 ，再根据EBF30，得BEEF，设DFx，则AEx，从而得出AB和CF的长度，即可解决问题【解析】解：BEF90，AEB+DEF90，AEB+ABE90，DEFABE，AD，ABEDEF， ，EBF30，BEEF，设DFx，则AEx，点E为AD的中点，AEDEx，AB3x，CFCDDF3xx2x， ，故选：A【例2】如图，在正方形ABCD中，AB=12，AE=0.25AB，点P在BC上运动（不与点B，C重合），过点P作PQEP，交CD于点Q，则CQ的最大值为_【答案】4【分析】根据正方形的性质可得B=C=90，AB=BC=12，从而证明一线三等角模型相似BPECQP，设BP=x,则CP=BC-BP=12-x,进而可得，即可解答【解析】四边形ABCD是正方形，B=C=90，AB=BC=12，BEP+EPB=90，AE=0.25AB，AE=3，BE=AB-AE=9，设BP=x,则CP=BC-BP=12-x,PQEP，EPQ=90，EPB+QPC=90，BEP=QPC，BPECQP，当x=6时，CQ的最大值为4，故答案为4【例3】如图，四边形ABCD中，BC90，点E为BC中点，AEDE于点E点O是线段AE上的点，以点O为圆心，OE为半径的O与AB相切于点G，交BC于点F，连接OG(1)求证：ECDABE；(2)求证：O与AD相切；(3)若BC12，AB6，求O的半径和阴影部分的面积【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）根据同角的余角相等，可证AEB=CDE，且B=C，从而解决问题；（2）延长DE、AB交于点P，根据ASA证DCEPBE，得DE=PE，从而有AD=AP，再证明DAO=GAO，利用角平分线的性质可得OH=OG，从而证明结论；（3）根据BC=12，AB=6，可求出AEB=60，有OEF是等边三角形，通过AO=2OG，得r=4，阴影部分的面积通过梯形面积减去扇形面积即可【解析】（1）证明：AEDE，AED=90，DEC+AEB=90，C=90，CDE+DEC=90，AEB=CDE，B=C，ECDABE；（2）证明：延长DE、AB交于点P，作OHAD于H，E为BC的中点，CE=BE，在DCE和PBE中，DCEPBE（ASA），DE=PE，AEDP，AE垂直平分DP，AD=AP，DAO=GAO，OHAD，OGAB，OH=OG，O与AD相切；（3）解：如图，连接OF，点E为BC中点，BE=BC=6在RtABE中，BE=6，AB=6，AE=12，sinA=,A=30AEB=AOG=60，OE=OF，OEF是等边三角形，EOF=60， 设半径为r，AO=2OG，12-r=2r，r=4，OG=OE=OF=4，EF=OE=4，BF=BE-EF=2，AO=8，在RtAGO中，AO=8，OG=4，AG=4，BG=AB-AG=2，GOF=180-EOF-AOG=60，S阴影=(2+4)2=6-一、单选题1如图，ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且EFBC设点E到BC的距离为x，DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）ABCD【答案】A【分析】过点A向BC作AHBC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案【解析】解：过点A向BC作AHBC于点H，根据相似比可知：，即，解得：EF=2（3-x），则DEF的面积y=2（3-x）x=-x2+3x=-(x-)2+，故y关于x的函数图象是一个开口向下、顶点坐标为(，)的抛物线故选：A2如图，点，将线段平移得到线段，若，则点D的坐标是（）ABCD【答案】D【分析】先过点C做出轴垂线段CE，根据相似三角形找出点C的坐标，再根据平移的性质计算出对应D点的坐标【解析】如图过点C作轴垂线，垂足为点E， 在和中， ， ，则 , 点C是由点B向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，点D同样是由点A向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，点A坐标为(0，3)，点D坐标为(6，5)，选项D符合题意，故答案选D3如图，已知矩形AOBC的顶点O在坐标原点，点A的坐标是（2，1），点B的纵坐标是3，则点C的坐标是（）ABCD【答案】A【分析】作轴于点D， 过点A作轴于点E，过点C作轴于点G，先通过角度等量代换证明，求出，再证明，求出，则，由此可解【解析】解：如图，作轴于点D， 过点A作轴于点E，过点C作轴于点G，点A的坐标是（2，1），点B的纵坐标是3，轴，轴，轴， 四边形AOBC是矩形，即， 四边形AOBC是矩形，又，在和中，点C在第二象限，点C的坐标是故选A4如图，在正方形ABCD中，P是BC上一点（点P不与点B，C重合），连接AP作PEAP，PE交CD于点E若AB6，点P为BC的中点，则DE（）ABCD【答案】B【分析】根据正方形的性质，余角，可证明出ABPPCE，再根据相似三角形的性质即可求出CE的值，最后根据线段的和差关系即可求解【解析】解：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=6，B=C=90，P为BC中点，BP=PC=AB=3，APPE，APE=90=APB+EPC，B=90，APB+BAP=90，BAP=EPC，B=C=90，ABPPCE，即，DE=CD-CE=，故选：B5如图所示，矩形ABCD中，AD=a，AB=b，若要使BC边上至少存在一点P，使ABP、APD、CDP两两相似，则a，b间的关系一定满足（）ABCD【答案】A【分析】由于ABP和DCP相似，可得出关于AB、PC、BP、CD的比例关系式设PC=x，那么BP=a-x，根据比例关系式可得出关于x的一元二次方程，由于BC边上至少有一点符合条件的P点，因此方程的0，由此可求出a、b的大小关系【解析】解：若设PC=x，则BP=a-x，ABPPCD，即，即x2-ax+b2=0方程有解的条件是：=a2-4b20，（a+2b）（a-2b）0，则a-2b0，a2b故选：A6如图，矩形ABCD，E在CD上，连接BE，将四边形ABED沿BE翻折得到四边形，若恰好经过点C，则线段BE的长为（）ABCD【答案】A【分析】设，则，则，根据已知条件，证明，利用三角形相似的性质，得出，即可得出，解关于x、y的方程组即可得出x、y的值，最后根据勾股定理求出BE即可【解析】解：四边形ABCD为矩形，CD=AB=3，BC=AD=5，根据折叠可知，设，则，则，即：，整理得：，解得：，（舍去），故A正确故选：A二、填空题7如图，正方形ABCD的边长为8，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AMMN当CN=2时，CM=_【答案】4【分析】根据正方形的性质可得AB=BC=8，B=C=90，进而证明BAM=NMC，得BAMCMN，即可求得CM的值【解析】解：四边形ABCD是正方形，AB=BC=8，B=C=90，BAM+BMA=90，AMMN，AMN=90，BMA+NMC=90，BAM=NMC，BAMCMN，解得MC=4故答案为：48如图，正方形的边长为8，是边上一动点（与，不重合），连接是延长线上一点，过点作的垂线交的平分线于点，则面积的最大值是 _【答案】8【分析】先根据正方形的性质和角平分线的定义证明出，设，则，再利用同角的余角相等，判断出，进而得出，得出，然后求出，再根据三角形的面积公式求出的面积，再根据函数的性质求最值【解析】解：作于，四边形是正方形，是的角平分线，设，则，四边形是正方形，；，当时，故答案为：89如图，正方形ABCD中，点P在BC上运动（不与B，C重合），过点P作，交CD于点Q，则CQ的最大值为_【答案】4【分析】先证明BPECQP，得到与CQ有关的比例式，设CQ=y，BP=x，则CP=12-x，代入解析式，得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值【解析】解：四边形ABCD是正方形，PQEP，B=C=90，EPQ=90，BEP+BPE=90，QPC+BPE=90，BEP=CPQ又B=C=90，BPECQP设CQ=y，BP=x，则CP=12-x.，化简得，整理得，所以当x=6时，y有最大值为4故答案为：410如图，在矩形中，为边上的一点，将沿翻折，得到，且在边上，为边上的一点，过点作的垂线交于点，连接交于点，连接，若，平分，则的长度为_【答案】【分析】过点作于点，延长，交于点，设，由翻折可知：，则，在和中，根据勾股定理得，证明，可得，证明，可得，然后根据角平分线的性质可以解决问题【解析】解：如图，过点作于点，延长，交于点， 设，由