专题11 全等三角形中的一线三等角模型【模型1】三垂直全等模型【说明】上图三垂直模型中，只要知道一组对应边相等，即可证明两三角形全等。【模型2】一线三直角全等模型【说明】上图中的两个三角形中三组对应角相等，只要知道一组对应边相等，即可证明两三角形全等。【模型3】一线三等角与一组对应边相等全等模型【说明】上图中可根据平角的概念和三角形内角和定理可求得的两个三角形中三组对应角相等，只要再知道一组对应边相等，即可证明两三角形全等。【例1】如图，ACCE，ACE90，ABBD，EDBD，AB6cm，DE2cm，则BD等于（）A6cmB8cmC10cmD4cm【例2】如图所示，中，直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F若，则_【例3】（1）观察理解：如图1，ACB90，ACBC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BDl，AEl，垂足分别为D，E，求证：AECCDB （2）理解应用：如图2，过ABC边AB、AC分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I利用（1）中的结论证明：I是EG的中点（3）类比探究：将图1中AEC绕着点C旋转180得到图3，则线段ED、EA和BD的关系_；如图4，直角梯形ABCD中，ABBC，AD2，BC3，将腰DC绕D点逆时针旋转90至DE，AED的面积为 一、单选题1如图，点P，D分别是ABC边BA，BC上的点，且，连结PD，以PD为边，在PD的右侧作等边DPE，连结BE，则BDE的面积为（）AB2C4D2课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间(如图)，ACB90，ACBC，从三角板的刻度可知AB20cm，小聪想知道砌墙砖块的厚度(每块砖的厚度相等)，下面为砌墙砖块厚度的平方的是（）Acm2Bcm2Ccm2Dcm23一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a8cm，则DE的长为（）A40cmB48cmC56cmD64cm二、填空题4如图，直线l1l3，l2l3，垂足分别为P、Q，一块含有45的直角三角板的顶点A、B、C分别在直线l1、l2、线段PQ上，点O是斜边AB的中点，若PQ等于，则OQ的长等于 _5如图，已知ABC是等腰直角三角形，ACB90，ADDE于点D，BEDE于点E，且点C在DE上，若AD5，BE8，则DE的长为_三、解答题6已知：如图，ABBD，EDBD，C是BD上的一点，ACCE，ABCD，求证：BCDE7如图，B=C=FDE=80，DF=DE，BF=1.5cm，CE=2cm，求BC的长8感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，由，可得 ；又因为，可得，进而得到_我们把这个模型称为“一线三等角”模型应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在中，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且求证：；当点P为BC中点时，求CD的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当为等腰三角形时，请直接写出BP的长9问题背景：（1）如图，已知中，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D，E，易证：_+_（2）拓展延伸：如图，将（1）中的条件改为：在中，D，A，E三点都在直线m上，并且有，请求出DE，BD，CE三条线段的数量关系，并证明（3）实际应用：如图，在中，点C的坐标为，点A的坐标为，请直接写出B点的坐标10在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有ABAC，且满足BDAAECBAC(1)如图1，当90时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是 ；(2)如图2，当0180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由11如图，于点，点在直线上，(1)如图1，若点在线段上，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)如图2，若点在线段的延长线上，其他条件不变，试判断（1）中结论是否成立，并说明理由12在直线上依次取互不重合的三个点，在直线上方有，且满足(1)如图1，当时，猜想线段之间的数量关系是_；(2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在中，是钝角，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，求与的面积之和13通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（1）如图1，BAD90，ABAD，过点B作BCAC于点C，过点D作DEAC于点E由1+22+D90，得1D又ACBAED90，可以推理得到ABCDAE进而得到AC ，BCAE我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；（2）如图2，BADCAE90，ABAD，ACAE，连接BC，DE，且BCAF于点F，DE与直线AF交于点G求证：点G是DE的中点；（深入探究）（3）如图，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，AFD的面积为S1，DCE的面积为S2，则有S1 S2（填“、”）14（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形如图1，已知：在中，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E求证：（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角请问结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高延长HA交EG于点I若，则_15（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，ACB90，CBCA，直线ED经过点C，过A作ADED于D，过B作BEED于E求证：BECCDA；（2）模型应用：已知直线yx+3与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为(8，6)，A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y2x5上的一点，若APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标