更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲教育 网址：类型七 二次函数与直角三角形有关的问题（专题训练）1（2023山东烟台统考中考真题）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点(1)求直线及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值【答案】(1)直线的解析式为；抛物线解析式为；(2)存在，点M的坐标为或 或；(3)【分析】（1）根据对称轴，得到点A及B的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；（2）先求出点D的坐标，再分两种情况：当时，求出直线的解析式为，解方程组，即可得到点M的坐标；当时，求出直线的解析式为，解方程组，即可得到点M的坐标；（3）在上取点，使，连接，证得，又，得到，推出，进而得到当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，利用勾股定理求出即可【详解】（1）解：抛物线的对称轴，将代入直线，得，解得，直线的解析式为；将代入，得，解得，抛物线的解析式为；（2）存在点，直线的解析式为，抛物线对称轴与轴交于点当时，当时，设直线的解析式为，将点A坐标代入，得，解得，直线的解析式为，解方程组，得或，点M的坐标为；当时，设直线的解析式为，将代入，得，解得，直线的解析式为，解方程组，解得或，点M的坐标为 或综上，点M的坐标为或 或；（3）如图，在上取点，使，连接，、，又，即，当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，的最小值为【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键2（2023内蒙古统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，直线交抛物线于两点（点在点的左侧），交轴于点，交轴于点(1)求点的坐标；(2)是线段上一点，连接，且求证：是直角三角形；的平分线交线段于点是直线上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标【答案】(1)，；(2)证明见解析，点的坐标为或【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点及一次函数与二次函数的交点求解即可；（2）设然后利用勾股定理求解，过点作轴，垂足为再由等腰三角形及各角之间的关系即可证明；根据题意得出，设点的坐标为，根据题意得分两种情况分析：（i）当点在直线的左侧抛物线上时，（ii）当点在直线的右侧抛物线上时，求解即可【详解】（1）解：直线交轴于点，交轴于点，当时，当时，直线交抛物线于两点，解得点在点的左侧，点的横坐标为3，当时，；（2）如图，抛物线交轴于点A，当时，,在中，由勾股定理得，设，是等腰直角三角形，过点作轴，垂足为，是等腰直角三角形，是直角三角形 平分轴，设点的坐标为，根据题意得（i）当点在直线的左侧抛物线上时，过点作轴，垂足为，在中，（舍去）当时，（ii）当点在直线的右侧抛物线上时，过点作轴，垂足为，在中，（舍去）当时，点的坐标为或【点睛】题目主要考查一次函数与二次函数综合问题，特殊三角形问题及解三角形，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键3（2023四川内江统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点与y轴交于点(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由【答案】(1)；(2)存在，的最大值为，；(3)或【分析】（1）将、代入抛物线解析式求解即可；（2）可求直线的解析式为，设（），可求，从而可求，即可求解；（3）过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，设， 可求，由，可求，进而求出直线的解析式，即可求解【详解】（1）解：由题意得 ，解得：，抛物线的解析式为（2）解：设直线的解析式为，则有，解得：，直线的解析式为；设（），解得：，当时，的最大值为，故的最大值为，（3）解：存在，如图，过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，抛物线的对称轴为直线，设，解得：，；设直线的解析式为，则有，解得，直线解析式为，且经过，直线解析式为，当时，；综上所述：存在，的坐标为或【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数中动点最值问题，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出动点坐标满足的函数解析式是解题的关键4（2023四川统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与轴交于点(1)求抛物线的解析式；(2)已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标；(3)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由【答案】(1)；(2)或或；(3)，理由见解析【分析】（1）待定系数法求解析式即可；（2）先求得抛物线的对称轴为直线，设与交于点，过点作于点，证明，设，则，进而得出点的坐标，代入抛物线解析式，求得的值，同理可求得当点F在x轴下方时的坐标；当点与点重合时，求得另一个解，进而即可求解；（3）设，直线的解析式为，的解析式为，求得解析式，然后求得，即可求解【详解】（1）解：将点，代入得解得：，抛物线解析式为；（2）点，抛物线的对称轴为直线：，如图所示，设与交于点，过点作于点以，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，设，则，点在抛物线上解得：（舍去）或,，如图所示，设与交于点，过点作于点以，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，设，则，点在抛物线上解得：（舍去）或，当点与点重合时，如图所示，是等腰直角三角形，且，此时，综上所述，或或；（3）设，直线的解析式为，的解析式为，点，解得：，直线的解析式为，的解析式为，对于，当时，即，对于，当时，即，在抛物线上，则为定值【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，一次函数与坐标轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键5（2023江苏连云港统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为直线过点，且平行于轴，与抛物线交于两点（在的右侧）将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交轴于点，顶点为(1)当时，求点的坐标；(2)连接，若为直角三角形，求此时所对应的函数表达式；(3)在（2）的条件下，若的面积为两点分别在边上运动，且，以为一边作正方形，连接，写出长度的最小值，并简要说明理由【答案】(1)；(2)或；(3)，见解析【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，进而得出顶点坐标，根据对称性，即可求解（2）由题意得，的顶点与的顶点关于直线对称，则抛物线进而得出可得，当时，如图1，过作轴，垂足为求得，代入解析式得出，求得当时，如图2，过作，交的延长线于点同理可得，得出，代入解析式得出代入，得；当时，此情况不存在（3）由（2）知，当时，此时的面积为1，不合题意舍去当时，此时的面积为3，符合题意由题意可求得取的中点，在中可求得在中可求得易知当三点共线时，取最小值，最小值为【详解】（1），抛物线的顶点坐标，点和点关于直线对称（2）由题意得，的顶点与的顶点关于直线对称，抛物线当时，可得当时，如图1，过作轴，垂足为，直线轴，又点在图像上，解得或当时，可得，此时重合，舍去当时，符合题意将代入，得当时，如图2，过作，交的延长线于点同理可得，又点在图像上，解得或，此时符合题意将代入，得当时，此情况不存在综上，所对应的函数表达式为或（3）如图3，由（2）知，当时，此时则，则的面积为1，不合题意舍去当时，则，此时的面积为3，符合题意依题意，四边形是正方形，取的中点，在中可求得在中可求得当三点共线时，取最小值，最小值为【点睛】本题考查了二次函数的性质，特殊三角形问题，正方形的性质，勾股定理，面积问题，分类讨论是解题的关键6.（2022山东滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接(1)求线段AC的长；(2)若点为该抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点P的坐标；(3)若点M为该抛物线上的一个动点，当为直角三角形时，求点M的坐标【答案】(1)(2)(3)或或或【分析】（1）根据解析式求出A，B，C的坐标，然后用勾股定理求得AC的长；（2）求出对称轴为x=1，设P（1，t），用t表示出PA2和PC2的长度，列出等式求解即可；（3）设点M（m,m2-2m-3），分情况讨论，当，分别列出等式求解即可(1)与x轴交点：令y=0，解得，即A（-1，0），B（3，0），与y轴交点：令x=0，解得y=-3，即C（0，-3），AO=1,CO=3,;(2)抛物线的对称轴为：x=1，设P（1，t）， t=-1，P（1，-1）；(3)设点M（m,m2-2m-3），,当时，解得，（舍），M（1，-4）；当时，解得，（舍），M（-2，5）；当时，解得，M或；综上所述：满足条件的M为或或或【点睛】本题是二次函数综合题，考查了与坐标轴交点、线段求值、存在直角三角形等知识，解