专题12 全等三角形中的手拉手模型【模型1】等腰三角形中的手拉手全等模型如图，ABC与ADE均为等腰三角形，且BACDAE，连接BD、CE，则ABDACE。【证明】BACDAE又ABC与ADE均为等腰三角形在和中ABDACE【模型2】等边三角形中的手拉手全等模型如图，ABC与CDE均为等边三角形，点B、C、E三点共线，连接AE、BD，则BCDACE。【模型3】一般三角形中的手拉手全等模型如图，在任意ABC中，以AB为边作等边ADB，以AC为边作等边ACE，连接DC、BE，则ADCACE.【模型4】正方形中的手拉手全等模型如图，在任意ABC中，以AB为边作正方形ABDE，以AC为边作正方形ACFG，连接EC、BG，则AECABG.【例1】如图，C为线段AE上一动点（不与点，重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ以下结论错误的是（）AAOB=60BAP=BQCPQAEDDE=DP【答案】D【分析】利用等边三角形的性质，BCDE，再根据平行线的性质得到CBE=DEO，于是AOB=DAC+BEC=BEC+DEO=DEC=60，得出A正确；根据CQBCPA（ASA），得出B正确；由ACDBCE得CBE=DAC，加之ACB=DCE=60，AC=BC，得到CQBCPA（ASA），再根据PCQ=60推出PCQ为等边三角形，又由PQC=DCE，根据内错角相等，两直线平行，得出C正确；根据CDE=60，DQE=ECQ+CEQ=60+CEQ，可知DQECDE，得出D错误【解析】解：等边ABC和等边CDE，AC=BC，CD=CE，ACB=DCE=60，ACB+BCD=DCE+BCD，即ACD=BCE，在ACD与BCE中，ACDBCE（SAS），CBE=DAC，又ACB=DCE=60，BCD=60，即ACP=BCQ，又AC=BC，在CQB与CPA中，CQBCPA（ASA），CP=CQ，又PCQ=60可知PCQ为等边三角形，PQC=DCE=60，PQAE，故C正确，CQBCPA，AP=BQ，故B正确，AD=BE，AP=BQ，AD-AP=BE-BQ，即DP=QE，DQE=ECQ+CEQ=60+CEQ，CDE=60，DQECDE，故D错误；ACB=DCE=60，BCD=60，等边DCE，EDC=60=BCD，BCDE，CBE=DEO，AOB=DAC+BEC=BEC+DEO=DEC=60，故A正确故选：D【例2】如图，是边长为5的等边三角形，E、F分别在AB、AC上，且，则三角形AEF的周长为_【答案】10【分析】延长AB到N，使BN=CF，连接DN，求出FCD=EBD=NBD=90，根据SAS证NBDFCD，推出DN=DF，NDB=FDC，求出EDF=EDN，根据SAS证EDFEDN，推出EF=EN，易得AEF的周长等于AB+AC【解析】解：延长AB到N，使BN=CF，连接DN，ABC是等边三角形，ABC=ACB=60，BD=CD，BDC=120，DBC=DCB=30，ACD=ABD=30+60=90=NBD，在NBD和FCD中，NBDFCD（SAS），DN=DF，NDB=FDC，BDC=120，EDF=60，EDB+FDC=60，EDB+BDN=60，即EDF=EDN，在EDN和EDF中，EDNEDF（SAS），EF=EN=BE+BN=BE+CF，即BE+CF=EFABC是边长为5的等边三角形，AB=AC=5，BE+CF=EF，AEF的周长为：AE+EF+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=10，故答案为：10【例3】如图1，B、C、D三点在一条直线上，AD与BE交于点O，ABC和ECD是等边三角形(1)求证：ACDBCE；(2)求BOD的度数；(3)如图2，若B、C、D三点不在一条直线上，BOD的度数是否发生改变？ （填“改变”或“不改变”）【答案】(1)证明见解析(2)BOD120(3)不改变，理由见解析【分析】（1）根据“SAS”证明ACDBCE即可；（2）由全等三角形的性质得ADCBEC，再由三角形的外角性质得AOB60，即可求解；（3）同（1）得：ACDBCE，得出DACEBC，根据三角形外角求出AOE=120，即可得出答案【解析】（1）证明：ABC和ECD是等边三角形，ACBECD60，BCAC，ECCD，ACB+ACEECD+ACE，BCEACD，在BCE和ACD中，BCEACD（SAS）（2）解：BCEACD，ADCBEC，AOBEBC+ADC，AOBEBC+BECDCE60，AOB+BOD180，BOD120（3）解：不改变，理由如下：同（1）得：ACDBCE（SAS），DACEBC，AOEABO+OABABO+DAC+BACABO+EBC+BACABC+BAC120BODAOE120，即BOD的度数不改变故答案为：不改变一、单选题1如图，ABC和ADE都是等腰直角三角形，BACDAE90，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE下列结论中，正确的结论有（）CEBD；ADC是等腰直角三角形；ADBAEB；S四边形BCDEBDCE；BC2+DE2BE2+CD2A1个B2个C3个D4个【答案】C【分析】根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，AD=AE，然后求出BAD=CAE，再利用“边角边”证明ABD和ACE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=BD，判断正确；根据全等三角形对应角相等可得ABD=ACE，从而求出BCG+CBG=ACB+ABC=90，再求出BGC=90，从而得到BDCE，根据四边形的面积等于两个三角形的面积之和可判断出正确；根据勾股定理表示出BC2+DE2，BE2+CD2，得到正确；再求出时，ADC=90，判断出错误；AEC与BAE不一定相等判断出错误【解析】解：，ABC和ADE都是等腰直角三角形， AB=AC，AD=AE， BAD=BAC+CAD=90+CAD， CAE=DAE+CAD=90+CAD， BAD=CAE， ABDACE（SAS）， CE=BD， ABD=ACE，故正确；BCG+CBG=ACB+ABC=90， 在BCG中，BGC=180-（BCG+CBG）=180-90=90， BDCE， S四边形BCDE=BDCE，故正确； 由勾股定理，在RtBCG中，BC2=BG2+CG2， 在RtDEG中，DE2=DG2+EG2， BC2+DE2=BG2+CG2+DG2+EG2， 在RtBGE中，BE2=BG2+EG2， 在RtCDG中，CD2=CG2+DG2， BE2+CD2=BG2+CG2+DG2+EG2， BC2+DE2=BE2+CD2，故正确； 从题干信息没有给出 所以只有时，=90， 无法说明，更不能说明 故错误； ABDACE， ADB=AEC， 条件不足以证明 AEC与AEB相等无法证明， ADB=AEB不一定成立，故错误； 综上所述，正确的结论有共3个 故选：C2如图，正和正中，B、C、D共线，且，连接和相交于点F，以下结论中正确的有（）个连接，则平分A4B3C2D1【答案】A【分析】根据“手拉手”模型证明，从而得到，再结合三角形的外角性质即可求解，即可证明；作于点，于点，证明，结合角平分线的判定定理即可证明；利用面积法表示和的面积，然后利用比值即可证明；利用“截长补短”的思想，在上取点，使得，首先判断出为等边三角形，再结合“手拉手”模型推出即可证明【解析】解：和均为等边三角形，在和中，故正确；如图所示，作于点，于点，则，在和中，平分，故正确；如图所示，作于点，整理得：，故正确；如图所示，在上取点，使得，平分，为等边三角形，在和中，故正确；综上，均正确；故选：A3如图，在直线AC的同一侧作两个等边三角形ABD和BCE，连接AE与CD交于点H，AE与DB交于点G，BE与CD交于点F，下列结论：AECD；AHD60；AGBDFB；BH平分GBF；GFAC；点H是线段DC的中点正确的有（）A6个B5个C4个D3个【答案】C【分析】连接GF，过点B作BMAE于M，BNCD于N；结合题意，利用等边三角形、全等三角形的性质，推导得AECD，AHDABG60；再根据等边三角形、角平分线的性质分析，即可得到答案【解析】连接GF，过点B作BMAE于M，BNCD于NABD，BCE都是等边三角形，ABDEBC60，BABE，BEBC，ABEDBC，在ABE和DBC中， ABEDBC（SAS），AECD，故正确；ABEDBC，BAEBDC，AGBDGH，AHDABG60，故正确；在AGB和DFB中， AGBDFB（ASA），故正确；AGBDFB，BGBF，GBF60，BGF是等边三角形，FGBABD60，FGAC，故正确；ABEDBC，BMAE，BNCD，BMBN，BH平分AHC，但不一定平分GBF，故错误；根据题意，无法判断DHCH，故错误故选：C4如图，点C是线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与B