2025年中考数学二轮复习压轴题培优练习图形面积问题如图，已知抛物线y=x2axb与x轴从左至右交于A、B两点，与y轴正半轴交于点C设OCB=，OCA=，且tantan=2，OC2=OAOB(1)ABC是否为直角三角形？若是，请给出证明；若不是，请说明理由；(2)求抛物线的解析式；(3)若抛物线的顶点为P，求四边形ABPC的面积如图，在ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，ADBC于D.点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x(s).(1)当x= 时，PQAC，x= 时，PQAB；(2)设PQD的面积为y(cm2)，当0x2时，求y与x的函数关系式为 ；(3)当0x2时，求证：AD平分PQD的面积；如图，已知二次函数y=ax2xc的图象与y轴交于点A(0，4)，与x轴交于点B，C，点C的坐标为(8，0)，连接AB、AC(1)请直接写出二次函数y=ax2xc的表达式；(2)判断ABC的形状，并说明理由；(3)若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；(4)若点N在线段BC上运动(不与点B、C重合)，过点N作NMAC，交AB于点M，当AMN面积最大时，求此时点N的坐标 如图，已知抛物线y=x2bxc经过ABC的三个顶点，其中点A(0，1)，点B(9，10)，ACx轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点(1)求抛物线的解析式；(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；(3)当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由如图，已知抛物线y=x2bxc与x轴正半轴交于点A(3，0)，与y轴交于点B(0，3)，点P是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点C，交直线AB于点D，设P(x，0)(1)求抛物线的函数表达式；(2)当0x3时，求线段CD的最大值；(3)在PDB和CDB中，当其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍时，求相应x的值；(4)过点B，C，P的外接圆恰好经过点A时，x的值为 (直接写出答案)已知一元二次方程x24x3=0的两根是m，n且mn如图，若抛物线y=x2bxc的图象经过点A(m，0)、B(0，n)(1)求抛物线的解析式(2)若(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C根据图象回答，当x取何值时，抛物线的图象在直线BC的上方？(3)点P在线段OC上，作PEx轴与抛物线交于点E，若直线BC将CPE的面积分成相等的两部分，求点P的坐标如图1，直线y=x2与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点坐标为A(1，0)(1)求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式；(2)P在线段BC上的一个动点(与B、C不重合)，过点P作直线ay轴，交抛物线于点E，交x轴于点F，设点P的横坐标为m，BCE的面积为S求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；求S的最大值，并判断此时OBE的形状，说明理由；(3)过点P作直线bx轴(图2)，交AC于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得PQR为等腰直角三角形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由已知抛物线l1：y=x22x3与x轴交于点A、B(点A在点B左边)，与y轴交于点C，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E(4，0)，与y轴交于点D(0，2)(1)求抛物线l2的解析式；(2)点P为线段AB上一动点(不与A、B重合)，过点P作y轴的平行线交抛物线l1于点M，交抛物线l2于点N当四边形AMBN的面积最大时，求点P的坐标；当CM=DN0时，求点P的坐标如图1，抛物线y=ax2bx3(a0)与x轴、y轴分别交于点A(1，0)、B(3，0)、点C三点(1)试求抛物线的解析式；(2)点D(2，m)在第一象限的抛物线上，连接BC、BD试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足PBC=DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)如图2，在(2)的条件下，将BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为BOC在平移过程中，BOC与BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？如图1，在平面直角坐标系中，抛物线M：y=x25经过点C(2，3)，直线y=kxb与抛物线相交于A、B两点，ACB=90(1)探究与猜想：探究：取点B(6，13)时，点A的坐标为(，)，直接写出直线AB的解析式 ；取点B(4，3)，直接写出AB的解析式为 猜想：我们猜想直线AB必经过一个定点Q，其坐标为 请取点B的横坐标为n，验证你的猜想；(2)如图2，点D在抛物线M上，若AB经过原点O，ABD的面积等于ABC的面积，试求出一个符合条件的点D的坐标，并直接写出其余的符合条件的D点的坐标答案解：(1)ABC是直角三角形理由如下：OC2=OAOB，=，又BOC=COA=90，RtBOCRtCOA，OCB=OAC；又OCAOAC=90，OCAOCB=90，即ACB=90，ABC是直角三角形；(2)抛物线与x轴交于A、B两点，方程x2axb=0有两个不同的实数根设这两个根分别为x1、x2，且x1x2，显然，x10，x20，得A、B两点的坐标分别为A(x1，0)、B(x2，0)由根与系数的关系，有x1x2=a，x1x2=b对于抛物线y=x2axb，当x=0时，y=b，C点的坐标为C(0，b)；由已知条件OC2=OAOB，得b2=(x1)x2，即b2=x1x2，b2=b，点C在y轴的正半轴上，b0，从而得b=1tan=OB：OC，tan=OA：OC，由tantan=2，得OC：OB=OA：OC=2，即OBOA=2OC，得x2(x1)=2b，x2x1=2b，即a=2b，a=2抛物线的解析式为：y=x22x1；(3)由抛物线的解析式y=x22x1配方得：y=(x1)22，其顶点P的坐标为P(1，2)解方程x22x1=0，得x1=1，x2=1，A(1，0)，B(1，0)设过P、C两点的直线与x轴交于点D，直线的解析式为：y=kx1，把P(1，2)坐标代入，得k=1，直线PC：y=x1，当y=0时，x=1，即点D的坐标为D(1，0)11，点D在点A的左边，作PFx轴于点F，S四边形ABPC=SPDBSCDA=DBPFDAOC=(1)12(1)11=1，即四边形ABPC的面积为1.解：(1)当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC，当Q在AC上时，由题意得，BP=x，CQ=2x，PC=4x；AB=BC=CA=4，C=60；若PQAC，则有QPC=30，PC=2CQ，4x=22x，x=；当x=(Q在AC上)时，PQAC；如图：当PQAB时，BP=x，BQ=x，ACAQ=2x；AC=4，AQ=2x4，2x4x=4，x=3.2，故x=3.2时PQAB；综上所述，当PQAB时，x=或3.2.(2)y=x2x，如图，当0x2时，P在BD上，Q在AC上，过点Q作QNBC于N；C=60，QC=2x，QN=QCsin60=x；AB=AC，ADBC，BD=CD=BC=2，DP=2x，y=PDQN=(2x)x=x2x；(3)当0x2时，在RtQNC中，QC=2x，C=60；NC=x，BP=NC，BD=CD，DP=DN；ADBC，QNBC，ADQN，OP=OQ，SPDO=SDQO，AD平分PQD的面积；解：(1)将点A(0，4)、C(8，0)代入y=ax2xc中，得：，解得：，该二次函数的解析式为y=x2x4(2)令y=x2x4中y=0，则x2x4=0，解得：x=2，或x=8，点B的坐标为(2，0)，又点A(0，4)，点C(8，0)，AB=2，AC=4，BC=10AB2AC2=2080=100=BC2，ABC为直角三角形(3)设点N的坐标为(m，0)，则AC=4，AN=，CN=|8m|以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形分三种情况： 当AC=AN时，即4=，解得：m=8，或m=8(舍去)，此时点N的坐标为(8，0)； 当AC=CN时，即4=|8m|，解得：m=84，或m=84，此时点N的坐标为(84，0)或(84，0)；当AN=CN时，即=|8m|，解得：m=3，此时点N的坐标为(3，0)综上可知：以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标为：(8，0)、(84，0)、(84，0)或(3，0)(4)设点N的坐标为(n，0)(2n8)，则BN=n(2)=n2MNAC，BMNBAC，=SBAC=ABAC=20，BN=n2，BC=10，SBMN=SBAC=(n2)2SAMN=SABNSBMN=AOBN(n2)2=(n3)25，当n=3，即点N的坐标为(3，0)时，AMN面积最大，最大值为5解：(1)点A(0，1)B(9，10)在抛物线上，抛物线的解析式为y=x22x1，(2)ACx轴，A(0，1)x22x1=1，x1=6，x2=0，点C的坐标(6，1)，点A(0，1)B(9，10)，直线AB的解析式为y=x1，设点P(m，m22m1)E(m，m1)PE=m1(m22m1)=m23m，ACEP，AC=6，S四边形AECP=SAECSAPC=ACEFACPF=AC(EFPF)=ACPE=6(m23m)=m29m=(m)220，6m0当m=时，四边形AECP的面积的最大值是20，此时点P(，)(3)y=x22x1=(x3)22，P(3，2)，PF=yFyP=3，CF=xFx