2025年中考数学二轮复习压轴题培优练习 线段和最值问题如图，已知抛物线y(x2)(xa)(a0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧(1)若抛物线过点M(2，2)，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，解答下列问题；求出BCE的面积；在抛物线的对称轴上找一点H，使CHEH的值最小，直接写出点H的坐标如图1，抛物线yax22xc与x轴交于A(4，0)，B(1，0)两点，过点B的直线ykx分别与y轴及抛物线交于点C，D(1)求直线和抛物线的表达式；(2)动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；(3)如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DMMN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc交x轴于A、B两点(A在B的左侧)，且OA3，OB1，与y轴交于C(0，3)，抛物线的顶点坐标为D(1，4)(1)求A、B两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)过点D作直线DEy轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点(点P不与B、D两点重合)，PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EFEG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由如图，抛物线yax2bxc与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为(2，1)(1)求抛物线的函数表达式；(2)抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线yax2bxc上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y2的距离总相等证明上述结论并求出点F的坐标；过点F的直线l与抛物线yax2bxc交于M，N两点证明：当直线l绕点F旋转时，是定值，并求出该定值；(3)点C(3，m)是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P，Q的坐标如图，抛物线yx2bxc与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x1，点C坐标为(0，4)(1)求抛物线表达式；(2)在抛物线上是否存在点P，使ABPBCO，如果存在，求出点P坐标；如果不存在，请说明理由；(3)在(2)的条件下，若点P在x轴上方，点M是直线BP上方抛物线上的一个动点，求点M到直线BP的最大距离；(4)点G是线段AC上的动点，点H是线段BC上的动点，点Q是线段AB上的动点，三个动点都不与点A，B，C重合，连接GH，GQ，HQ，得到GHQ，直接写出GHQ周长的最小值如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式(2)点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DEx轴于点E，交BC于点F，过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点G，H，设点D的横坐标为m求DFHF的最大值；连接EG，若GEH45，求m的值在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc交x轴于A，B两点，点A，B的坐标分别为(1，0)，(3，0)，点M为顶点(1)求抛物线的解析式；(2)过点M作y轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的平行线，交CM于点D，点H为OC上的任一点，将线段HB绕点H逆时针旋转90到HP求PCD的度数；(3)在(2)的条件下，将点H改为y轴上的一动点，连接OP，BP，求OPBP的最小值如图，已知抛物线yx2bxc与一直线相交于A(1，0)，C(2，3)两点，与y轴交于点N其顶点为D(1)抛物线及直线AC的函数关系式；(2)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EFBD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC的面积的最大值(4)设点M的坐标为(3，m)，直接写出使MNMD的和最小时m的值已知点A(2，0)，B(3，0)，抛物线yax2bx4过A，B两点，交y轴于点C(1)求抛物线的解析式；(2)点P是线段AC上一动点(不与C点重合)，作PQBC交抛物线于点Q，PHx轴于点H连结CQ，BQ，PB，当四边形PCQB的面积为时，求P点的坐标；直接写出PHPQ的取值范围在平面直角坐标系中，直线yx2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线yx2bxc的对称轴是直线x与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点(1)求抛物线的解析式；(2)点M为抛物线对称轴上一动点，当|BMCM|的值最小时，求出点M的坐标；(3)抛物线上是否存在点N，过点N作NHx轴于点H，使得以点B、N、H为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由答案解：(1)将M(2，2)代入抛物线解析式得：2(22)(2a)，解得：a4；(2)由(1)抛物线解析式y(x2)(x4)，当y0时，得：0(x2)(x4)，解得：x12，x24，点B在点C的左侧，B(4，0)，C(2，0)，当x0时，得：y2，即E(0，2)，SBCE626；由抛物线解析式y(x2)(x4)，得对称轴为直线x1，根据C与B关于抛物线对称轴直线x1对称，连接BE，与对称轴交于点H，即为所求，设直线BE解析式为ykxb，将B(4，0)与E(0，2)代入得：，解得：，直线BE解析式为yx2，将x1代入得：y2，则H(1，)解：(1)把A(4，0)，B(1，0)代入yax22xc，得，解得：，抛物线解析式为：yx22x，过点B的直线ykx，代入(1，0)，得：k，BD解析式为yx；(2)由得交点坐标为D(5，4)，如图1，过D作DEx轴于点E，作DFy轴于点F，当P1DP1C时，P1DC为直角三角形，则DEP1P1OC，即，解得t，当P2DDC于点D时，P2DC为直角三角形由P2DBDEB得，即，解得：t；当P3CDC时，DFCCOP3，即，解得：t，t的值为、(3)由已知直线EF解析式为：yx，在抛物线上取点D的对称点D，过点D作DNEF于点N，交抛物线对称轴于点M过点N作NHDD于点H，此时，DMMNDN最小则EOFNHD设点N坐标为(a，a)，即，解得：a2，则N点坐标为(2，2)，求得直线ND的解析式为yx1，当x时，y，M点坐标为(，)，此时，DMMN的值最小为2解：(1)由抛物线yax2bxc交x轴于A、B两点(A在B的左侧)，且OA3，OB1，得A点坐标(3，0)，B点坐标(1，0)；(2)设抛物线的解析式为ya(x3)(x1)，把C点坐标代入函数解析式，得a(03)(01)3，解得a1，抛物线的解析式为y(x3)(x1)x22x3；(3)EFEG8(或EFEG是定值)，理由如下：过点P作PQy轴交x轴于Q，如图设P(t，t22t3)，则PQt22t3，AQ3t，QB1t，PQEF，AEFAQP，EF(t22t3)2(1t)；又PQEG，BEGBQP，EG2(t3)，EFEG2(1t)2(t3)8解：(1)顶点B关于x轴的对称点坐标为(2，1)，B(2，1)，A(4，0)，将点O、点A、点B代入抛物线yax2bxc，得到，解得，yx2x；(2)设F(2，m)，G(x，y)，G点到直线y2的距离为|y2|，(y2)2y24y4，yx2x，(y2)2y24y4y2x24x4y2(x2)2，G到直线y2的距离与点(2，0)和G点的距离相等，抛物线上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y2的距离总相等；G到定点F的距离与点G到直线y2的距离相等，(x2)2(mx2x2)2(x2x2)2，整理得，m(mx22x)0，距离总相等，m0，F(2，0)；设过点F的直线解析式为ykx2k，M(xM，yM)，N(xN，yN)，联立，整理得x2(44k)x8k0，xMxN44k，xMxN8k，yMyN4k2，yMyN4k2，M到F点与M点到y2的距离相等，N到F点与N点到y2的距离相等，1，1是定值；(3)作B点关于y轴的对称点B，作C点关于x轴的对称点C，连接CB交x轴、y轴分别于点P、Q，BQBQ，CPCP，四边形PQBC周长BQPQPCBCBQPQCPCBCBCB，点C(3，m)是该抛物线上的一点C(3，)，B(2，1)，B(2，1)，C(3，)，直线BC的解析为yx，Q(0，)，P(，0)解：(1)抛物线对称轴为x1，1，b1，将(0，4)代入yx2xc中，c4，yx2x4(2)如图1中，作PEx轴于点EABPBCO，PEBBOC90，PEBBOC， (此处也可以由等角的正切值相等得到)，设P(m,m2m4)，则PE|m2m4|，BE2m，当点P在x轴上方时：，解得m13，m22(不符题意，舍)，当点P在x轴下方时：，解得m15，m22(不符题意，舍)，P(3,)或(5,)(3)作MFx轴于点F，交BP于点R，作MNBP于点Nyx2x4=(x4)(x2)，A(4，0)，B(2，0)，设yBPkxb1，将P(3,),(2,0)代入得解得k,b11，yBPx1，设M(a,a2a4)，则R(a,a1)，MR=a2a3，MNRRFB90，NRMFRB，MNRBFR，tanABP，在RtMNR中NR：MN：MR1：2：，MN(a)2，当a时，MN最大为(4)作Q点关于A