2025年中考数学二轮复习压轴题培优练习正方形存在问题如图，抛物线ya(xh)2k(a0)的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以AC为对角线的正方形ABCD的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为美丽抛物线，正方形ABCD为它的内接正方形(1)当抛物线yax21是美丽抛物线时，则a ；当抛物线yx2k是美丽抛物线时，则k ；(2)若抛物线yax2k是美丽抛物线时，则请直接写出a，k的数量关系；(3)若ya(xh)2k是美丽抛物线时，(2)a，k的数量关系成立吗？为什么？(4)系列美丽抛物线ynan(xn)2kn(n为小于7的正整数)顶点在直线yx上，且它们中恰有两条美丽抛物线内接正方形面积比为1：16求它们二次项系数之和如图1，抛物线yax22xc经过点A(1，0)、C(0，3)，并交x轴于另一点B，点P(x，y)在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D(1)求该抛物线的函数表达式；(2)当点P的坐标为(1，4)时，求四边形BOCP的面积；(3)点Q在抛物线上，当的值最大且APQ是直角三角形时，求点Q的横坐标；(4)如图2，作CGCP，CG交x轴于点G(n，0)，点H在射线CP上，且CHCG，过GH的中点K作KIy轴，交抛物线于点I，连接IH，以IH为边作出如图所示正方形HIMN，当顶点M恰好落在y轴上时，请直接写出点G的坐标如图，某一次函数与二次函数yx2mxn的图象交点为A(1，0)，B(4，5)(1)求抛物线的解析式；(2)点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 ；(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DEx轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；(4)在(2)条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数yx2bxc(b0，c0)图象的顶点是点A，对称轴为直线l，图象与y轴交于点C点D在l右侧的函数图象上，点B在DC延长线上，且四边形ABOD是平行四边形(1)如图2，若CDx轴求证：b24c；若ABOD是矩形，求二次函数的解析式；(2)当b2时，ABOD能否成为正方形，请通过计算说明理由已知抛物线yax2bxc(a0)过点A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，OC3(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)过点A作AMBC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；(3)若点Q为线段OC上的一动点，问：AQQC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由我们规定：在正方形ABCD中，以正方形的一个顶点A为顶点，且过对角顶点C的抛物线，称为这个正方形的以A为顶点的对角抛物线(1)在平面直角坐标系xOy中，点在轴正半轴上，点C在y轴正半轴上如图1，正方形OABC的边长为2，求以O为顶点的对角抛物线；如图2，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为a，其以O为顶点的对角抛物线的解析式为yx2，求a的值；(2)如图3，正方形ABCD的边长为4，且点A的坐标为(3，2)，正方形的四条对角抛物线在正方形ABCD内分别交于点M、P、N、Q，直接写出四边形MPNQ的形状和四边形MPNQ的对角线的交点坐标在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y=ax2bxc经过A(2，0)，B(1,)两点，且与y轴交于点C，点B是该抛物线的顶点(1)求抛物线L1的表达式；(2)将L1平移后得到抛物线L2，点D，E在L2上(点D在点E的上方)，若以点A，C，D，E为顶点的四边形是正方形，求抛物线L2的解析式如图，抛物线yx2bxc经过A(3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，P为y轴上的动点，连接AP，以AP为对角线作正方形AMPN(1)求抛物线的解析式；(2)当正方形AMPN与AOP面积之比为5：2时，求点P的坐标；(3)当正方形AMPN有两个顶点在抛物线上时，直接写出点P的坐标如图，抛物线yax2bxc过(1，0)，(3，0)，(0，6)三点，边长为4的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴上，y轴上(1)求抛物线解析式，并直接写出当1x4时，y的最大值与最小值的差(2)将正方形OABC向右平移，平移距离记为h，当点C首次落在抛物线上，求h的值当抛物线落在正方形内的部分，满足y随x的增大而减小时，请直接写出h的取值范围如图，已知直线yx1与坐标轴交于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线的另一个交点为E(1)求抛物线的解析式；(2)若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止，设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；(3)在(2)的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积答案解：(1)函数yax2k的图象如下：抛物线yax21是美丽抛物线时，则AC1，四边形ABCD为正方形，则点D的坐标为(，)，将点D的坐标代入yax21得：a()21，解得a2；同理可得，点D的坐标为(k，k)，将点D的坐标代入yx2k得：k(k)21，解得k0(不合题意)或4；故答案为：4；(2)由(1)知，点D的坐标为(k，k)，将点D的坐标代入yax2k得：ka(k)2k，解得ak2；(3)答：成立美丽抛物线沿x轴向右或向左平移后得到的抛物线仍然是美丽抛物线美丽抛物线ya(xh)2k沿x轴经过适当平移后为抛物线yax2kak2；(4)设这两条美丽抛物线的顶点坐标分别为(k,k)和(m,m)，(k，m为小7的正整数，且km)，它们的内接正方形的边长比为k：m=1:4，m4k，这两条美丽抛物线分别为和，2，a112，a43a1a415答：这两条美丽抛物线对应的二次函数的二次项系数和为15解：(1)由题意得，该抛物线的函数表达式为：yx22x3；(2)当y0时，x22x30，x11，x23，B(3，0)，PC2BC21(43)2(3232)20，PB2(31)24220，PC2BC2PB2，PCB90，SPBC3，SBOC，S四边形BOCPSPBCSBOC3；(3)如图1，作PEAB交BC的延长线于E，设P(m，m22m3)，B(3，0)，C(0，3)，直线BC的解析式为：yx3，由x3m22m3得，xm22m，PEm(m22m)m23m，PEAB，PDEADB， (m)2，当m时，()最大，当m时，y()223，P(，)，设Q(n，n22n3)，如图2，当PAQ90时，过点A作y轴平行线AF，作PFAF于F，作QGAF于G，则AFPGQA，n，如图3，当AQP90时，过QNAB于N，作PMQN于M，可得ANQQMP，可得n11，n2，如图4，当APQ90时，作PTAB于T，作QRPT于R，同理可得：，n，综上所述：点Q的横坐标为：或1或或；(4)如图5，作GLy轴，作RCGL于L，作MTKI于T，作HWIK于点W，则GLCCRH，ITMHWIRHOGn，CRGLOC3，MTIW，G(n，0)，H(3，3n)，K(，)，I(，()2n33)，TMIW，()2n6(3n)，(n3)22(n3)120，n14，n24(舍去)，G(4，0)解：(1)将A(1，0)，B(4，5)代入yx2mxn得，抛物线的解析式为yx22x3；(2)设直线AB的函数解析式为ykxb，直线AB的解析式为yx1，ACBCAB，当点A、B、C三点共线时，ACBC的最小值为AB的长，抛物线yx22x3的对称轴为x1，当x1时，y2，C(1，2)，故答案为：(1，2)；(3)设D(a，a22a3)，则E(a，a1)，DE(a1)(a22a3)a23a4(1a4)，当a时，DE的最大值为；(4)当CF为对角线时，如图，此时四边形CMFN是正方形，N(1，1)，当CF为边时，若点F在C的上方，此时MFC45，MFx轴，MCF是等腰直角三角形，MFCN2，N(1，4)，当点F在点C的下方时，如图，四边形CFNM是正方形，同理可得N(1，2)，当点F在点C的下方时，如图，四边形CFMN是正方形，同理可得N(，)，综上：N(1，1)或(1，4)或(1，2)或(，)解：(1)yx2bxc(xb)b2c，顶点A(b，b2c)，C(0，c)，连接OA，交BD于点P，如图1，四边形ABOD是平行四边形，PAPO，P(b，b2c)，CDx轴，b2cc，b24c；如图1，设抛物线对称轴交x轴于点E，则E(b，0)，OEb，AEb2cb2b2b2，抛物线yx2bxc的对称轴为直线xb，D(b，c)，PDbbb，BD2PDb，ABOD是矩形，OABD，OA2BD2，OE2AE2BD2，(b)2(b2)2(b)2，b2b4b2，即b2(b2)(b2)0，b0，b2，c2，该二次函数的解析式为yx22x2；(2)当b2时，ABOD不可能是正方形理由如下：如图2，连接OA，交BD于点G，连接AC，当b2时，yx22xc(x1)2c1，抛物线顶点A(1，c1)，若四边形ABOD是正方形，则GAGO，OABD，即BD是OA的垂直平分线，ACOC，AC2OC2，(10)2(c1c)2c2，c0，c，yx22x，A(1，1)，G(，+)，C(0，)，设直线CG的解析式为ykxd，则，解得：，直线CG的解析式为