2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛一试试卷（预赛）（A卷）一、填空题：本题共8小题，每小题8分，共64分。1.若实数m1满足log9(log8m)=2024，则log3(log2m)的值为_2.设无穷等比数列an的公比q满足0|q|1.若an的各项和等于an各项的平方和，则a2的取值范围是_3.设实数a，b满足：集合A=xR|x210x+a0与B=xR|bxb3的交集为4,9，则a+b的值为_4.在三棱锥PABC中，若PA底面ABC，且棱AB，BP，BC，CP的长分别为1，2，3，4，则该三棱锥的体积为_5.一个不均匀的骰子，掷出1，2，3，4，5，6点的概率依次成等差数列.独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为a，b.若事件“a+b=7”发生的概率为17，则事件“a=b”发生的概率为_6.设f(x)是定义域为R、最小正周期为5的函数.若函数g(x)=f(2x)在区间0,5)上的零点个数为25，则g(x)在区间1,4)上的零点个数为_7.设F1，F2为椭圆的焦点，在上取一点P(异于长轴端点)，记O为PF1F2的外心，若POF1F2=2PF1PF2，则的离心率的最小值为_8.若三个正整数a，b，c的位数之和为8，且组成a，b，c的8个数码能排列为2，0，2，4，0，9，0，8，则称(a,b,c)为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组.满足10ab0，与sin(A+4)=0相矛盾，所以cosC=0不成立，综上，cosC= 7410.解：考虑以(0,y0)为圆心的好圆0：x2+(yy0)2=r02(r00)由0与的方程联立消去x，得关于y的二次方程2y22y0y+y02+1r02=0根据条件，该方程的判别式=4y028(y02+1r02)=0，因此y02=2r022对于外切于点P的两个好圆1，2，显然P在y轴上设P(0,)，1，2的半径分别为r1，r2，不妨设1，2的圆心分别为(0,+r1)，(0,r2)，则有(+r1)2=2r122，(r2)2=2r222，两式相减得2(r1+r2)=r12r22，而r1+r20，故化简得=r1r22，进而(r1r22+r1)2=2r122，整理得r126r1r2+r22+8=0，由于d=r1+r2，A(1,0)，|PA|2=2+1=(r1r2)24+1，而可等价地写为2(r1r2)2+8=(r1+r2)2，即8|PA|2=d2，所以d|PA|=2 211.解：根据z+w=2，得w=2z，可得|z22w|=|z22(2z)|=|z2+2z4|=|z+1+ 5|z+1 5|w22z|=|(2z)22z|=|z26z+4|=|z3+ 5|z3 5|以上两式的最右边各项分别是z到复平面中实轴上的点(1 5,0)，(1+ 5,0)，(3 5,0)，(3+ 5,0)的距离，将z=x+yi换成其实部x时，各个距离都不会增大，因此只需考虑函数f(x)=|x2+2x4|+|x26x+4|在R上的最小值由x2+2x4=0的根为1 5，x26x+4=0的根为3 5，且1 53 51+ 53+ 5，分以下几种情况讨论：若x1 5，则f(x)=2x24x，f(x)在(,1 5上的最小值为f(1 5)=16+8 5；若x(1 5,3 5，则f(x)=8x+8，此时f(x)的最小值为f(3 5)=16+8 5；若x3 5,1+ 5，则f(x)=2x2+4x，此时f(x)的最小值为f(3 5)=f(1+ 5)=16+8 5；若x1+ 5,3+ 5，则f(x)=8x8，此时f(x)的最小值为f(1+ 5)=16+8 5；若x3+ 5，则f(x)=2x24x，f(x)在3+ 5,+)的最小值为f(3+ 5)=16+8 5综上所述，f(x)在R上的最小值为f(3 5)=f(1+ 5)=8 516即S=|z22w|+|w22z|的最小可能值是8 516第3页，共3页