武汉市部分重点中学20222023学年度上学期期中联考高二数学试卷 试卷满分：150分祝考试顺利注意事项：1答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置2选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号答在试题卷上无效3非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内，答在试题卷上或答题卷指定区域外无效4考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1直线在x轴上的截距是（ ）A1 B C D22双曲线的焦点坐标是（ ）A B C D3已知，则向量与的夹角为（ ）A B C D4若曲线与曲线有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ）A BC D5对于直线m，n和平面，的一个充分条件是（ ）A， B，C， D，6已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若A为线段BF的中点，且，则C的离心率为（ ）A B2 C D37已知点P在直线上运动，点E是圆上的动点，点F是圆上的动点，则的最大值为（ ）A6 B7 C8 D98在正四面体中，点E在棱AB上，满足，点F为线段AC上的动点，则（ ）A存在某个位置，使得B存在某个位置，使得C存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为D存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9方程表示圆，则实数a的可能取值为（ ）A4 B2 C0 D10若直线m被两平行直线与所截得的线段长为，则直线m的倾斜角可以是（ ）A B C D11已知椭圆，分别为它的左、右焦点，A，B分别为它的左、右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下面结论中正确的有（ ）A的最小值为8 B的最小值为C若，则的面积为 D直线PA与直线PB斜率乘积为定值12如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在侧面及其边界上运动，则下列选项中正确的是（ ）A存在点P满足 B存在点P满足C满足的点P的轨迹长度为 D满足的点P的轨迹长度为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是_14过点做圆的两条切线，切点分别为M，N，则_15两条异面直线a，b所成角为，在直线a，b上分别取点，E和点A，F，使，且已知，则线段的长为_16城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此乘坐出租车时往往不能沿直线到达目的地，只能按直角拐弯的方式行进在平面直角坐标系中，定义，之间的“出租车距离”为已知，则到点A，B“距离”相等的点的轨迹方程为_，到A，B，C三点“距离”相等的点的坐标为_三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为（1）求C的标准方程；（2）若直线与双曲线C交于A，B两点，求18（12分）已知的顶点，重心（1）求线段BC的中点坐标；（2）记的垂心为H，若B、H都在直线上，求H的坐标19（12分）如图，四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，（1）求证：平面ABCD；（2）求直线BD与平面BPC所成角的正弦值20（12分）如图，已知圆，点P为直线上一动点，过点P作圆O的切线，切点分别为M，N，且两条切线PM，PN与x轴分别交于A，B两点（1）当P在直线上时，求的值；（2）当P运动时，直线MN是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由21（12分）已知正四棱柱中，E点为棱AB中点（1）求二面角的余弦值；（2）连接EC，若P点为直线EC上一动点，求当P点到直线距离最短时，线段EP的长度22（12分）已知椭圆过点，过其右焦点F且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且（1）求椭圆C的方程；（2）若矩形MNPQ满足各边均与椭圆C相切，求该矩形面积的最大值，并说明理由武汉市部分重点中学20222023学年度上学期期中联考高二数学试卷参考答案及评分标准一、二选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.题号123456789101112答案CCABDBDCADBDABCABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 14. 15. 或 16. （2分）； （3分）四、解答题：共70分.解答题：17.（10分）解：（1）因为焦点在轴上，设双曲线的标准方程为，由题意得，又双曲线的一条渐近线为，联立上述式子解得，故所求方程为； 4分（2）设，联立，整理得，由，所以，即. 10分18.（12分）解：（1）设，且，由重心定义得，解得，记线段的中点为，则，即； 4分（2）设，由（1）得，解得，即，,，即. 12分19.（12分）解：（1）由于，所以，由于，所以，所以，由，得.取的中点为，连接，因为底面是直角梯形，且，所以四边形为正方形，所以，在中，故，所以在中，即，由于，所以； 4分（2）由（1）可知两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，即，令，可得，设直线与平面的夹角为，所以直线与平面所成角的正弦值为. 12分20.（12分）解：（1）联立两条直线方程，解得，设切线方程为，则圆心到切线的距离解得，所以，令，解得，则；4分（2）分析知在以为圆心，为半径的圆上，设，即在圆上，联立，得，所以过定点. 12分21.（12分）解：（1）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则设平面的法向量为，则，即，令，得，设平面的法向量为，则，即，令，得，设二面角的平面角为，则.5分（2）设，则，令，设点到直线的距离为，则，整理得，. 12分22.（12分）解：（1）由题意：椭圆过点，又过点，有，变形，得代入，得，即，解得，则，所以椭圆方程； 4分（2）当MN的斜率为0或不存在时，此时，当MN的斜率存在且不为0时，设直线MN：，联立消去y得，化简得，所以两平行线MN和PQ的距离，以代替k，两平行线MQ和NP的距离，所以矩形MNPQ的对角线，根据基本不等式，所以当，即，矩形MNPQ面积的最大值为. 12分