2024-2025学年第一学期10月期中考试高一 数学一、单选题（每小题5分）1. 下列图象中，不能表示函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】函数的定义要求定义域中任意一个自变量，都存在唯一确定的函数值值与之对应.【详解】C选项的函数图像中存在，对应两个不同的函数值，故不是函数图像.故选：C2. 下列表示正确的个数是（ ）（1）；（2）；（3）；（4）若，则；（5）.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据集合的概念、元素与集合的关系、集合间的基本关系进行判断【详解】空集中不含任何元素，故（1）正确；空集是任何集合的子集，故（2）正确；由得，所以，故（3）错误；若，即集合是集合的子集，则，故（4）正确；两个集合间的关系不能用符号，故（5）错误.故选：C.3. 已知实数a，b，c满足，则下列不等式中成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由不等式的性质可得A错误，D错误；作差之后通分化简可得B正确；举反例令，可得C错误；【详解】对于A，因为，所以，所以，故A错误；对于B，因为，所以，故B正确；对于C，当，时，故C错误；对于D，因为，所以，故D错误故选：B4. “其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自论语子路意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守根据上述材料，“身正”是“令行”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】结合题意判断“身正”和“令行”之间的逻辑关系，即得答案.【详解】由题意：其身正，不令而行，即身正令行，故“身正”是“令行”充分条件；又其身不正，虽令不从，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要条件，综合知“身正”是“令行”的充要条件，故选：C5. 已知非负实数x，y满足，则的最小值为（ ）A. B. C. 4D. 【答案】B【解析】【分析】根据已知条件可得，利用“”乘以构建基本不等式，再根据不等式性质即可求解.【详解】因为，所以，则，所以，根据不等式性质可知，当且仅当时等号成立，即满足条件，所以，所以的最小值为.故选：B6. 若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】令，将问题等价转化为，然后讨论的最大值，从而求出的取值范围.【详解】令，对称轴方程为，若存在，使不等式成立，等价于，当时，即时，解得，因为，所以；当时，即时，解得，因为，所以；因为，所以.故选:C.7. 已知集合若，使得成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】，使得成立，只需，解之即可.【详解】因为，所以，则.，使得成立，所以只需，所以，所以.故选：B8. 已知在上满足，则实数取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题中条件，先判断函数单调递减，再由分段函数解析式，列出不等式组求解，即可得出结果.【详解】因为在上满足，所以在上单调递减，需满足以下三个条件：（1）在上单调递减，只需；（2）在上单调递减，此时显然，函数的对称轴为，所以只需且；（3）在处，第一段的函数值要大于等于第二段的函数值，即；因此由，解得，即实数的取值范围为.故选：B二、多选题（每小题6分）9. 已知满足，且，那么下列各式中一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】A选项，判断出，由不等式性质得到A正确；B选项，先得到，结合得到B正确；C选项，求出，由不等式性质得到C错误；D选项，作差法比较出.【详解】A选项，因为，所以，又，故，A正确；B选项，因为，所以，又，故，所以，B正确；C选项，因为，所以，两边同乘以，得，C错误；D选项，因为，所以，故，D正确.故选：ABD10. 下列命题为假命题的是（ ）A. “，”的否定是“，”B. “”是“”的充分不必要条件C. “”是“”的充分不必要条件D. “且”是“”的必要不充分条件【答案】AD【解析】【分析】由含有一个量词的命题的否定判断选项A；由不等式性质结合充分条件必要条件的定义判断选项B,D, 充分条件必要条件的定义判断选项C.【详解】对A，全称量词命题的否定是特称命题，“，”的否定是“，”A选项为假命题； 对B，可以得出，“”是“”的充分条件，当符合得出，“”是“”的不必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件，B选项正确；对C，可以得出，“”是“”的充分条件，当符合得出，“”是“”的不必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件，C选项正确；对D，且，可得，得，“且”是“”的充分条件符合，但是且不成立，“且”是“”的不必要条件则“且”是“”的充分不必要条件，D选项为假命题故选：AD11. 已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ）A. B. 若，则x的值是C. 的解集为D. 的值域为【答案】ABD【解析】【分析】将代入，得，将代入，可知A正确；分别在和的情况下，根据解析式构造不等式和方程可判断BC正误；分别在和的情况下，结合一次函数和二次函数的值域求法可知D正确.【详解】对于A，因为，则，所以，故A正确；对于B，当时，解得：（舍）；当时，解得：（舍）或；的解为， 故B正确；对于C，当时，解得：；当时，解得：；的解集为，故C错误；对于D，当时，；当时，；的值域为， 故D正确.故选：ABD.第II卷（非选择题）三、填空题（每小题5分）12. 已知，且，满足这样的集合的个数_.【答案】7【解析】【分析】根据子集和真子集概念的理解，从元素由少到多的顺序将集合逐个列举即得.【详解】由题意，集合可以取：共7个.故答案为：7.13. 单板滑雪是北京冬奥会比赛项目之一，如图，若，某运动员自起跳点起跳后的运动轨迹（虚线部分）可近似看作一元二次函数图象，运动员竖直高度（单位：m）与距离起跳点的水平距离（单位：m）近似满足函数关系式，则运动员竖直高度不低于48m时，水平距离最多为_m.【答案】97.5【解析】【分析】由题意直接代入后解一元二次不等式即可；【详解】由题意可得，即，解得，因此，运动员水平距离最多为97.5m.故答案为：97.5.14. 已知函数表示不大于的最大整数，如，则不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】首先求解的范围，再根据函数的定义，即可求解.【详解】不等式，得，所以，所以不等式解集为.故答案为：四、解答题15. 设全集，集合，集合（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）由交集、并集运算即可求解；（2）由，列出不等式求解即可.【小问1详解】当时，.【小问2详解】因为，所以，又 ，即 ，解得，故实数的取值范围为.16. （1）已知，求的解析式；（2）已知函数，用表示、中的较小者，记为，求的解析式.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）令，则，可得出，由此可得出的表达式，由此可得出函数的解析式；（2）分别解不等式、，结合可得出函数的解析式.【详解】（1）设，则，则，所以，所以，其中，则（2）由，即，即，解得，由，即，即，解得或，所以，.17. 某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一座八边形的休闲场所如图，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为100平方米的十字形地域计划在正方形上建一座花坛，造价为每平方米元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺彩色水磨石地坪，造价为每平方米105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为每平方米40元（1）设长为米，总造价为S元，求S关于的函数解析式；（2）若市面上花坛造价每平方米1000到3000元不等，该小区投入到该休闲场所的资金最多29500元，问花坛造价最多投入每平方米多少元?【答案】（1）； （2）2100【解析】【分析】（1）利用几何图形的特征计算图形面积即可；（2）利用（1）的结论结合基本不等式可知，解不等式即可.【小问1详解】由题意可得，正方形的面积为，阴影部分面积为，所以，且，则，则；【小问2详解】由（1）可知，当且仅当时，即时，等号成立，由于投入到该休闲场所的资金最多29500元，所以解得，当时，符合题意，所以花坛造价最多投入每平方米2100元18. 已知函数.（1）当时，解关于的不等式；（2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析 （2）【解析】【分析】（1）先把二次不等式化为，然后分类讨论解不等式即可；（2）参变分离，把能成立问题转化为的最大值问题，换元后利用基本不等式求解即可.【小问1详解】由.得，所以，若，即，上式可化为：，解得；若，即，上式可化为：，解得；若，即，上式可化为：，因为，所以，所以，所以：或.综上可知：当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.【小问2详解】不等式，即，所以，因为恒成立，所以：.问题转化：存在，使得成立，所以，设，令，则，因为（当且仅当，即时取等号），所以，当且仅当时取等号.所以综上可知：的取值范围为.【点睛】求参数的取值范围问题，分离参数是常用的一种方法.通常把参数表示出来，而后转化为恒成立或存在性问题，通过求函数的值域或范围来求解.19. 已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了（1）请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式；（2）利用（1）的结论比较的大小；（3）证明命题：设，证明：【答案】（1），证明见解析 （2） （3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，得到不等式，结合作差比较法，即可得证；（2）根据题意，化简，利用上述结论，即可求解；（3）由（1）中的结论，得到，证得，再由，进而证得，即可得证.【小问1详解】由题意，可得不等式.证明：由，因为，可得，所以，即.【小问2详解】由，由（1）中的结论，可得，即.【小问3详解】证明：因为，由（1）中的结论，可得，所以，又由，同理可得，则，由上述结论，可得，所以，综合，得.