河北省衡水市20242025学年高二上学期综合素质评价二数学试题一、单选题（本大题共8小题）1直线的倾斜角为（）ABCD2已知直线的方向向量为，平面的法向量为，下列结论成立的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则3已知圆的面积为，则（）ABCD4已知两点，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（）ABCD5已知A(0，1，1)，B(2，1，0)，C(3，5，7)，D(1，2，4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为()A BC D6在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（）ABCD7若动点，分别在直线与直线上移动，则MN的中点P到原点的距离的最小值为（）ABCD8边长为1的正方体中，分别是，中点，是靠近的四等分点，在正方体内部或表面，则的最大值是（）A1BCD二、多选题（本大题共3小题）9如图，四棱柱中，为的中点，为上靠近点的五等分点，则（）ABCD10已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（）A若，则B若，则两条平行直线之间的距离为C若，则D若，则直线，一定相交11如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（）A存在点，使得B存在点，使得异面直线与所成的角为C三棱锥体积的最大值是D当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大三、填空题（本大题共3小题）12点与圆上任一点连结的线段的中点的轨迹方程 ；13已知点和直线，则点到直线的距离的取值范围是 .14如图，已知点A是圆台O1O 的上底面圆O1 上的动点，B,C 在下底面圆O 上，AO1=1 ，OO1=2 ，BO=3 ，BC=25 ，则直线AO 与平面O1BC 所成角的正弦值的最大值为_.四、解答题（本大题共5小题）15在中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为.(1)求直线的方程；(2)求直线的方程及点的坐标.16如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且分别为的中点.(1)证明：平面.(2)求平面与平面夹角的余弦值.17已知直线过定点(1)求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程；(2)若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程18如图，在四棱锥中，平面平面，.(1)求证：平面.(2)求直线与平面所成角的正弦值.(3)在棱上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19在空间直角坐标系中，己知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.(1)已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值；(2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，点到平面的距离；(3)（i）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积；（ii）若集合.记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小.参考答案1【答案】A【详解】设直线的的倾斜角为，且，直线的斜率，所以，故选：A2【答案】C【详解】因为直线的方向向量为，平面的法向量为，由，可得，所以A不正确，C正确；对于B中，由，可得或，所以B、D都不正确；故选：C.3【答案】B【分析】由题意确定圆的半径，结合圆的面积公式建立方程，即可求解.【详解】因为圆，即，所以，解得.故选B.4【答案】A【详解】，而，故直线的取值范围为，故选：A.5【答案】A【详解】(2，2，1)，(2，3，3)，cos，直线AB，CD所成角的余弦值为.6【答案】D【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，取，得，所以点到平面的距离为，故选：D7【答案】C【详解】解：由题意知，MN的中点P的轨迹为平行于两直线且到两直线距离相等的直线，故其方程为，到原点的距离的最小值为故选：C8【答案】D【详解】如图，建立空间直角坐标系，设，则，所以，则，因为，又，所以，即，所以，又，所以，当且仅当，此时时，等号成立，所以的最大值是.故选：D.9【答案】BD【详解】，即，故A错误、B正确；，即，故C错误，D正确.故选：BD.10【答案】AD【详解】两条直线，的方程分别为与，它们不重合，若，则，得，检验符合，故A选项正确；若，由A选项可知，：，直线的方程可化为，故两条平行直线之间的距离为，故B选项不正确；若，则，得，故C选项不正确；由A选项知，当时，所以若，则直线，一定相交，故D选项正确.故选：AD.11【答案】ACD【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，A0,0,0，；对于A，假设存在点，使得，则，又，所以，解得，即点与重合时，A正确；对于B，假设存在点，使得异面直线与所成的角为，因为，所以，方程无解；所以不存在点，B错误；对于C，连接，设，因为，所以当，即点与点重合时，取得最大值；又点到平面的距离，所以，C正确；对于D，由上分析知：，若是面的法向量，则，令x=1，则，因为，设直线与平面所成的角为，所以，当点自向处运动时，的值由到变大，此时也逐渐增大，因为在为增函数，所以也逐渐增大，故D正确.故选：ACD12【答案】【分析】设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程【详解】设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x4）2+（2y+2）2=4，化简得故答案为：【点睛】求轨迹方程的常见方法有:直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；逆代法，将代入.13【答案】【详解】可化为：设直线的定点为，点P到直线的距离为，则有： 可得：为直线的定点则有：，此时为点P到直线的最大距离若在直线上，则有：，即可得：不可能在直线上，则有：综上可得：故答案为：14【答案】31010 【分析】以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得对应点的坐标，设出未知点的坐标，利用向量法求线面角正弦值的最大值，再求余弦值的最小值即可.【详解】连接OC ，过C 点作CH 垂直于BO 的延长线于点H ，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：在三角形OBC 中，因为OB=3,OC=3,BC=25 ，故cosB=OB2+BC2OC22OBBC=9+2092325=53 ，则BH=BCcosB=2553=103 ，则CH=BC2BH2=201009=453 ，OH=BHOB=13 ，故点C13,453,0 ，又O0,0,0 ，O10,0,2 ，B3,0,0 ，设点Am,n,2 ，m,n1,1 ，由O1A=1 ，可得m2+n2=1 ，BC=103,453,0 ，BO1=3,0,2 ，设平面O1BC 的法向量m=x,y,z ，则mBC=0mBO1=0 ，即103x+453y=03x+2z=0 ，取y=5 ，则x=2,z=3 ，故平面O1BC 的法向量m=2,5,3 ，又OA=m,n,2 ，设直线AO 与平面O1BC 所成角为 ，0,2 ，则sin=cosOA,m=mOAmOA=2m+5n+632m2+n2+4=2m+5n+6310 ，因为m,n1,1 ，且m2+n2=1 ，故令m=cos ，n=sin ，0,2 ，则2m+5n+6=5sin+2cos+6=3sin+6 ，tan=255 ，2,2 ，又0,2 ，所以sin+1,1 ，所以3sin+63,9 ，即2m+5n+63,9 ，所以sin 的最大值为9310=31010 .故答案为：31010 .【方法总结】求直线与平面所成角的方法：(1)定义法：作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键；证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；求，利用解三角形的知识求角；(2)向量法：sin|cos，n |ABnABn (其中AB 为平面 的斜线AB的方向向量，n为平面 的法向量，为斜线AB与平面 所成的角)15【答案】(1)(2)直线的方程为：，【详解】（1）由于所在直线的方程为，故的斜率为，与互相垂直，直线的斜率为，结合，可得的点斜式方程：，化简整理，得，即为所求的直线方程（2）由和联解，得由此可得直线方程为：，即，关于角平分线轴对称，直线的方程为：，直线方程为，将、方程联解，得，因此，可得点的坐标为16【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）不妨设，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由，得到，即可得证；（2）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）不妨设，则，如图建立空间直角坐标系，则，A1,0,0， 所以，设m=x,y,z是平面的一个法向量，则，取，则，所以平面的一个法向量，又，所以，因为平面，所以平面.（2）因为平面，所以是平面的一个法向量，又因为，所以平面与平面夹角的余弦值为.17【答案】(1)或或(2)最小值为24，直线【详解】（1）直线，则直线过定点，当，时，设的方程为点在直线上，若，则，直线的方程为，若，则，直线的方程为；当时，直线过原点，且过点，直线的方程为，综上所述，所求直线的方程为或或；（2）令，则；令，则，直线交轴的正半轴于点，交轴的负半轴于点，为坐标原点，设的面积为，则，当且仅当时，即时取等号，故的最小值为24，此时，直线18【答案】(1)证明见解析(2)(3)存在；【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而得，再结合线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再利用空间向量夹角公式、线面角的定义进行求解即可；（3）要使平面，则，由此列式求解可得.【详解】（1）平面平面，且平面平面，且，平面，平面，平面，又，且，平面，平面；（2）取中点为，连接，又，则，