江苏省泰州市20242025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1经过两点的直线的倾斜角为（）ABCD2若方程表示圆，则实数的取值范围是（）ABCD3平面内一点M到两定点，的距离之和为10，则M的轨迹方程是（）ABCD4一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（）A米B米C米D米5若直线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围是（）AB或CD或6已知点在圆上，点，则满足的点的个数为（）A3B2C1D07设直线 ， 一束光线从原点 出发沿射线 向直线 射出， 经 反射后与 轴交于点 ， 再次经 轴反射后与 轴交于点 . 若 ， 则 的值为（）ABCD8已知圆，点，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，直线与交于点，则的最小值为（）ABCD二、多选题（本大题共3小题）9已知中，则关于列说法中正确的有（）A某一边上的中线所在直线的方程为B某一条角平分线所在直线的方程为C某一边上的高所在直线的方程为D某一条中位线所在直线的方程为10下列说法正确的是（）A直线的倾斜角的取值范围是B“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件C过点且在轴，轴截距相等的直线方程为D设点，若点Px,y在线段上（含端点），则的取值范围是11已知圆O ：x2+y2=4 ，过圆O 外一点Pa,b 作圆O 的切线，切点为A ，B ，直线OP 与直线AB 相交于点D ，则下列说法正确的是（ ）A若点P 在直线x+y+4=0 上，则直线AB 过定点1,1 B当PAPB 取得最小值时，点P 在圆x2+y2=32 上C直线PA ，PB 关于直线ax+by=a2+b2 对称DOP 与OD 的乘积为定值4三、填空题（本大题共3小题）12求过点且与圆相切的直线方程为 .13已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数m的取值范围是 14已知为圆上任意一点，则的最小值为 .四、解答题（本大题共5小题）15已知点和直线(1)求过点与直线平行的直线的方程；(2)求过的中点与垂直的直线的方程16已知以点为圆心的圆与_，过点的动直线l与圆A相交于M，N两点从直线相切；圆关于直线对称这2个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题(1)求圆A的方程；(2)当时，求直线l的方程17如图，将一块直角三角形木板置于平面直角坐标系中，已知，点是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线将三角形木板锯成，设直线的斜率为k.(1)用k表示出直线的方程，并求出M、N的坐标；(2)求锯成的的面积的最小值.18如图，圆.(1)若圆与轴相切，求圆的方程；(2)当时，圆与轴相交于两点（点在点的左侧）.问：是否存在圆，使得过点的任一条直线与该圆的交点，都有？若存在，求出圆方程，若不存在，请说明理由.19已知、B、C为圆O：（）上三点(1)若直线BC过点，求面积的最大值；(2)若D为曲线上的动点，且，试问直线AB和直线AC的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.参考答案1【答案】C【分析】利用两点表示斜率和斜率的定义建立方程，解之即可求解.【详解】由题意知，经过的直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则，所以，即直线的倾斜角为.故选：C2【答案】C【详解】因为方程表示圆，所以，解得.所以实数的取值范围为.故选：C.3【答案】B【详解】平面内一点M到两定点，的距离之和为，所以M的轨迹满足椭圆的定义，是椭圆，且，则，椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的方程为故选：.4【答案】C【详解】如图建立平面直角坐标系，则圆心在y轴上，设圆的半径为r，则圆的方程为，拱顶离水面3米，水面宽12米，圆过点，圆的方程为，当水面下降1米后，可设水面的端点坐标为，则，当水面下降1米后，水面宽度为故选：C5【答案】D【详解】因为曲线，即，表示圆心为原点，半径为1的半圆，如图，当直线，即与曲线相切时，圆心到直线的距离，解得或（舍去）当直线，即与曲线相交且只有一个交点时，综上可得，或，故选：D6【答案】B【详解】设点，则，得，即，故点的轨迹为一个圆心为半径为的圆，又点在圆上，两圆的圆心距为，半径和为，半径差为，有，所以两圆相交，满足这样的点有2个.故选：B.7【答案】B【详解】如图，设点关于直线的对称点为，则得，即，由题意知与直线不平行，故，由，得，即，故直线的斜率为，直线的直线方程为：，令得，故，令得，故由对称性可得，由得，即，解得，得或，若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件故，故选：B.8【答案】B【详解】设，由题可知，则，即，所以，所以点，将点的坐标代入，化简得（不同时为0），故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，又，点在该圆外，所以的最小值为，故选：B9【答案】AD【分析】求出边上的中线所在直线的方程可判断A；由A知，只能为的角平分线，由点到直线的距离可判断B；求出直线的高所在直线的方程可判断C；求出线段的中点为，线段的中点，即直线方程可判断D.【详解】对于A，线段的中点为，又，所以边上的中线所在直线的方程为，故A正确；对于B，由A知，只能为的角平分线，假设为的角平分线，在上任取一点，直线的方程为：，即。直线的方程为：，即，则到直线的距离为：，则到直线的距离为：，因为，故B错误；对于C，因为，而直线的高所在直线的方程为：，故C错误；对于D，线段的中点为，线段的中点为，线段的中点为，直线的方程为：，即，所以D正确；故选：AD.10【答案】AD【详解】对于A，直线的倾斜角为，则，因为，所以，故A正确；对于B，当时，直线与直线的斜率分别为，斜率之积为，故两直线相互垂直，所以充分性成立，若“直线与直线互相垂直”，则，故或，所以得不到，故必要性不成立，故B错误；对于C，截距为0时，设直线方程为，又直线过点，所以可得，所以直线方程为，当截距不为0时，设直线方程为，又直线过点，所以可得，所以直线方程为，所以过点且在轴，轴截距相等的直线方程为或，故C错误；对于D，如图，令，则的取值范围等价于直线的斜率的取值范围，因为点，点Px,y是线段（含端点）上任一点，所以，或的取值范围是.故D正确.故选：AD.11【答案】ACD【详解】设Pm,4m ，由四点P ，A ，O ，B 共圆，且以OP 为直径，可得圆的方程为xm22+y4m22=m22+4m22 ，化简得x2+y2mx+m+4y=0 ，联立圆x2+y2=4 ，可得直线AB 的方程为4mx+m+4y=0 ，即myx+4+4y=0 ，令y=x ，且4+4y=0 ，解得x=y=1 ，即直线AB 恒过定点1,1 ，故A正确，PAPB=OAOPOBOP=OAOB+OP2OAOPOBOP=OAOB+OP2OA2OB2 =OAOBcos2AOP+OP28=42cos2AOP1+OP28=32OP2+OP212 ,由于32OP2+OP282 ，当且仅当32OP2=OP2 时，即OP2=42 时等号成立，故此时点P 在圆x2+y2=42 上，故B错误，由于直线PA ，PB 关于直线OP 对称，而OP 方程为bxay=0 ，由于直线ax+by=a2+b2 与bxay=0 垂直，故直线PA ，PB 关于直线ax+by=a2+b2 对称，C正确，设AOP= ,则OP=OAcos ，OD=OAcos ，OPOD=OAcosOAcos=OA2=4 ，故D正确，故选：ACD12【答案】或【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为，显然不符合题意，当直线的斜率存在，设斜率为，则切线方程为，即，所以，解得或，所以切线方程为或.故答案为：或13【答案】【详解】由题意，解得故答案为：14【答案】【详解】设Px,y，则，则而表示Px,y到，2,0两点距离和，所以所以所以的最小值为故答案为：15【答案】(1) ；(2) .【详解】(1) 由题意可知，直线的斜率为，因为，所以,所以直线的方程为，即.(2)因为，所以过的中点坐标为，由题意可知，直线的斜率为，因为，所以，解得，所以直线的方程为，即.16【答案】(1)(2)或【详解】（1）选：因为圆A与直线相切，所以圆A的半径为，因此圆A的方程为；选：因为圆A与圆关于直线对称，所以两个圆的半径相等，因此圆A的半径为，所以圆A的方程为.（2）两种选择圆A的方程都是，当过点的动直线l不存在斜率时，直线方程为，把代入中，得，显然，符合题意，当过点的动直线l存在斜率时，设为，直线方程为，圆心到该直线的距离为：，因为，所以有，即方程为：综上所述：直线l的方程为或.17【答案】(1)，.(2).【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的方程，再联立直线方程组即可求得M、N的坐标；（2）先由题意确定的范围，再利用（1）结论可得到与M到直线的距离，由此得到的面积关于的关系式，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）设直线，因为直线过点，所以，即，所以，又因为，易得直线，直线，联立，解得；联立，解得，故，.（2）因为，所以，所以，因为，设M到直线的距离为d，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以S的最小值为.18【答案】(1)或(2)存在，【分析】（1）根据题意可得代入则关于的二次方程判别式为0求解即可；（2）代入可求解，再假设存在圆，设直线的方程为，联立圆的方程，设，将题意转化为的斜率互为相反数，进而用的坐标表示并代入韦达定理化简，最后讨论特殊情况当直线与轴垂直时判断是否满足即可.【详解】（1）因为由，可得，由题意得，所以或，故所求圆的方程为或.（2）令，得，即，求得，或，所以，.假设存在圆，当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，代入得，设，从而，.因为的斜率之和为，而因为，所以，的斜率互为相反数，即，所以，即.当直线与轴垂直时，仍然满足，即的斜率互为相反数.综上，存在圆，使得.19【答案】(1)；(2)存在，定值为.【详解】（1）因为为圆上，则，可得，由题意，设直线为，将代入得，所以，令，则，当，即时面积取得最大值.（2）设直线和直线的斜率之积为设，