历届高中数学联赛不等式问题鉴赏1.使不等式2;”a 3 0 sx 的 解 是-的 实 数.的取值范围是解 法 1由已知可知2，-arccosx。的 解 集 是,g,l.在此区间上函数)A 17 1A 1-24 2 271 4 2 57C n 1D、-C、-U、7 12 3 2 6 2(第H 一届高二第一试第6 题)/(x)=2,-arccos尤是单调增的.因此a 的值应当满足关系小|=。，解 法 2 原 不 等 式 同 解 于。2,-arccosx,因 为-，x 4 1,所以2 2 2,2-2-7-arccos x V 0 _ ,从 I -2-2-2 r arccos x 2_,=。二-,-y-2-2-.故I /、4B.3 2 3 2 3评析上述两种解法的实质是一回事.关于此题，刊物上有数篇文章的观点值得商榷，现摘其部分加以分析.一篇文章认为：“由己知不等式得a 2-arcco sx,欲使其解为2实 际 上 是 对 的 任 何 x,a 2-arccosx 恒成立，而 y=2-arccosx 在(_ 京 上 是 增 函 数，所 以 当 片-；时，)m M=2-L a rc c o s-=*芥 故选 B.”另一篇文章在介绍了设 m /(x)/(x)=。/O O m a x=；a/(x)=a /(x)mm=m”后 分 析 道：“令/()=2-arccosx,当-g xl 时，2,又a /(x),故a 4 券V2 号2兀，选 B.”还有一篇文章干脆将题目改为：使不等式2，-aa r c c o s x的解是-的实数a的取值范围是()2A、f-o o,l-B、-o o,-I 2 J (2 3)5万 (1 I 2 6 J I 2 )并作了如下解答：“由已知得 a r c c o s尤 的解是等价2于“对xe,1的任何x,a 2-a r c c o s x恒成立”.按此观点，应当有题目就错了(选择支中没有正确答案)，又怎么能选B呢？第三篇文章也将题目改错了(选择支中同样没有正确答案).问 题 的 关 键 在 于“不 等 式2、-aa r c c o s x的解是-工 x l ”与“对2的任何x,a 2 -a r c c o s x恒成立”到底是否等价.为说明这一问题，我们只要看一个简单的例子就能明白了.不 等 式2x+a 0的解集是-1,3 ,求。的取值范围.如果认为它等价于“x e -1,3 时，不等式2x+a W 0恒成立，求。的取值范围”，就会这样解：由尤2 2x+a 0得，+2刈：一/+2x=1 (x 在 1,3 上的最小值是1一(3 I=一3,，。一3为所求.而事实上，-8 -3,但一一2x一8 /(x)的解集是D”与“x e。时，关于x的不等式。/(x)恒成立不一定是等价的.2.已知a力是正数，并且 9 9 8 +998=/996+9 9 6 ,求 证 小+.(第十届高一培训题第74题)证 法1若。与b中有一个 等 于1,那么另一个也 等 于1,此时，显然a2+b2 h且bwl,可 将 苏 频+/8=/9 6+9 9 6改 写 为am 6(a2-l)=b19 9 6-b2),由此推得0。1 (若匕1,则/一io,得”b 矛 盾),由 此 得,/,1996 2 0 -1,0 -a2+b2 2.a a)l-b证法 2 2(/9 8 +乂9 9 8)_12 +/)(脑996 +谬6 )=99 8 _ 02/6 _ 3 9 9 6/+针998=(。2 _/)(,_引狈”.2_/与/9 9 6 _ y 9 9 6 同号，.(/_ 匕2)(996 _ y 99 6 /0,.2(4998+少 998)2,2+62),19 9 6+针996)./频+3须=/泯+b叨60,a2+b2 2.证 法 3 由 9 9 8 +9 9 8 =9 9 6+9 9 6 及 R*,得a2+b21 6+/6)(储+/)产+产am i+bl99S+ai996b2+a2b1996产+产=1+产 从+“2产苏9 9 8 +1叨 8.99662+a2 产 6 -1998 1 9 9 8a 0=-(。2-/)(产 6-/6),又号,._(。2 _ 6 2 9 9 6 996“a2-b2 与,996-6 同。”+。2产a+b 1,.-.a2+b2 2.评析解决本题的关键在于如何利用已知条件.证 法 1 通过分类讨论证得/+/W2,较繁.由于苏淞+,98 峥+沙9 9 6 ,故证法2作差2（产 8 +产 8）_ 年+从 觞 9 9 6 +产 6）,只要此差大于等于0命题便获证./1 9 9 6 工 人 1 9 9 6 丫 2.2而证法3将小+/表示成也_:人2+1,便将问题转化成证式小于等a 1 9 9 8 +产 8于 2.证法2,3 的作法既有技巧性,又有前瞻性,简洁明了.拓展本题可作如下推广推广 1 设 a,b R,且一9 9 8 +y 9 9 8 =996+.996，贝|J 小 十 从 一2.推广 2 设 a,b e R,且“2+2+62+2=/”+/“，其中“eN+，则/+/2,推 广 3 设 a力eR,且 a2m+2+/，+2=/卅+尸皿，其 中 z,eN+,则a2 n+b2 2.推广 4 设a,6 e R,且4/+2+劭2，+2=4。2，+劭 2:其中A,B eR+,A+Bl,)Aa2+Bb2n 0,.(A+B)(Aa2m+2n+Bb2m+2tt)(Aa2+Bb2,n)Aal n+Bh2).-：Aa2m+2n+Bb2n,+2n=Aa2+Bb2m 0,r.Aa2+Bb2n A+B1.即当a力不全为零时，式也成立.综上，不等式成立.推广 5 设 a,beR+,+bm+n=am+hm,其中 加 0,则a+b 0,则a+b 0,A 8eR+,A+B 41，则 Aa+破 41.由于推广5,6 是推广7 的特殊情形，故下面证明推广7.证明(A+6)(Aam+n+Bh-(Aa+Bb)(Aan+Bb)=AB(am+n-ambn-anbm+bm+n)=AB(a,n-b,n)(a 0.由塞函数的性质,可知心-昭 与 成-b同号,AB(am-bm)(a-b)O,：.(A+B)(Aain+n+Bbl+n)(Aam+Bbn,)(Aa+Bb)./Aam+Bbm+=Aa,n+Bbm 0,.Aa+Bhn A+B 0,则Z=1 i=lZ x/:0,则 Z A/J 0 ,由嘉函数性质知 x-x 与 0,.-.2A 0,即A N O,：.ZA，XAH +YAixim-S EA0,i=l i=i=l j=l/=!/=1ZA/j （x；+x；+x；l）（y；+y；+y；1）.（第十届高二第二试第22题）证法1当x；+x；+方=1时，原不等式显然成立.当 X：+%2+石 （x：+x；+xj-l）（y；+y；+y；-1）.证法 2,v xi,yj&R+（i =1,2,3）x；+x；+x；41,.,.当 y；+y；+y；1 时，（X|2+%2+石D（y；+y g +y g 1）4。，又（,月+芍%+七 D 2 0，求证的不等式成立.当 y：+y；+y；4 1 时，（x：+x；+x；-l）（y：+y；+y；_ 1）=1一x：+）：、2）/2+才,2X：+产2）2（1 王月一一刍%）2xyi+x2y2+x3y3-l）2.综上，在题设条件下，总有+工22+工3V3-1）（1+12+工3 一 ）（%+2 +%一 1）证 法 3 设 a=x；+x；+x；-l ，b=-2（+x2y2+x3y3-1）,c=y：+），;+贝lj 由 x；+x；K 1 知 a 0.2-4ac）-（2 +。）2=-4 a2-4 ah -4 ac=-4 a（a+b+c）0b2-4 ac（2tz +/?）-0h2-4 ac 0即（西 必 +x2y2+1 3 3 -1）（尤:+x；-i）（y：+y：+y；-D-证法4设五=（九 ,1 2，氐3），I =（%，为，3），则=（x1,x2,x3X ypy2,y3）=x1y1+x2y2+x3y3,又a-b=同.W .CO S。+y +y cos o .卜弘+为+七-1|=1-COS。+:+1（须 必 +x2y2+x3y3-l）2（1-+x；9+（x；+x；+x；-1）（#+y；+1）.证 法5记4=（/,口2，%3），8 =（%，力，3），。（0,0,0）为坐标原点,则由|AB|H-|OB|,得 J（y J +（一%）2 +（刍%）2 N|A/X：+X；+X；-J y；+）1 一 （M +X 2y 2+%）1 -J x；+、+x；.J y；+y；+y；0，,整理得（y,+x2y2+x3y3-）N （x：+x；+x；l）（y；+y +y；-1）评析这是一个条件不等式的证明问题.由求证式是从之 的形式自然联想到二次函数的判别式，构造一个什么样的二次函数是关键.当然是构造/(0=(x；+龙；+君-1 2 _ 2(为%+%+七为 一 +(4+y；+y；t)，但只有当x；+x；+x；一1 工0时，/(f)才是二次函数，故 证 法 1 又分X；+X；+后-1 =0 与X：+X；+X；-1N0两类情形分别证明.很显然，等价转化思想、分类讨论思想是证 法 1的精髓.证 法 2 直接运用基本不等式证明.证法3通过换元后证明从一4敬 2 0 (即求证式)，技巧性很强，一般不易想到，读者可细心体会其思路是如何形成的.证法4由求证式中的xf +x+x,y；+货+货 及 再 弘+X 2y 2+1 3 3 联想到空间向量的模及数量积，因而构造向量解决问题.证法5 则从儿何角度出发，利用|A却可训使问题轻松得证.五种证法，从多角度展示了本压轴题的丰富内涵.拓 展 本题可作如下推广：推广 1 若王,y w R(i =l,2,41,贝 U2 玉乂-1./=1推 广 2若 X j,%R（i1,2,2 0 ,x；2 0，并且 七厂 一 2，,1.2 1,2-I.21 +X2 1 +/1 +Z（第一届备选题）证 法1=,且a,/7,y为锐角，则题设可化为sin2a+sin2p +sin2/=2，即 cos2a4-cos2 +cos2/=l.由柯西不 等式知2=2x1=sin2 a+sin2 6 +sin?ycos2 a+cos2(3+cos2 力(sin a cos a +2 1sin p cos/?+sin/cos/)-=(sin 2a+sin 2/?+sin可；(sin2a+sin 2/3+sin2/)V2.由万能公式得tan。-5*1+tarr atan 0tan/0+71 +t a n/1 +tarryV2,BP 0 ,当 且 仅 当x=y=z,取f=x=y=z时 取 等 号，A0,即24於、-7+1 +JT 1+y士 二 1一x2 1l+x2，l+y21 +/2yi i i 0,y27+l +z2=2，1,XyT+：-1 +7工2又以+l+尸 1 +y-l-+-x-1-+-y 7-1 +-z7 .4xzyl+x2+1 +yY-4 x lx 2 0,故xyl+x2+l+y 4 1.（当且仅当x=y =z=&时 取 等 号）2证 法3 二+l +x2y2z29H-:1 +y-1 +zy =2 ,即 f l-一 二V l +x*=2 ,即111-T-*-7l +x l+y 1 +z1,于 是1l +x2 +1 +y2Xl +x2 +yz2即-X-y+yl+x l +y7+l+?2证 法4令 上l +x2i +/v2，X,上 弓=Y,一 =Z，则 X+Y+Z =2,且l+y 1+z2 X 2r=-,yl-xY 7,Z2=,所以i-r i-zxy-y+y、i+i+y、2z I7+T+?工+空Ty z)V 3 今X2+%Y2+马2=3y)3 2-1(X+r+Z)2v-2证 法5设 总则b+c-a左边=X2 1+y2X2 Y2J T+z、z2=3 (X+Y +Z)-(x2+r2+z2)u-x i-y i-z；3(2 g x 2 2)=2.所以2a y2xl +x2 +2b z2y9H-l+y 1+zTV2.2ca +b +c l +y?