3.3.2简单的线性规划问题第1课时 简单的线性规划问题必备知识 自主学习学习目标1.了解线性规划的意义,能根据线性约束条件画出可行域,能建立目标函数.（数学抽象、直观想象、数学建模）2.理解并初步运用线性规划的图解法解决简单的线性规划问题.（直观想象、逻辑推理、数学运算）3.理解目标函数的最大、小值与其对应直线的截距的关系.（直观想象、逻辑推理、数学运算）导思1.什么是线性规划?线性规划的基本概念有哪些？2.如何求目标函数的最值？1.线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x,y组成的不等式组线性约束条件由x,y的一次不等式组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x,y的函数解析式线性目标函数关于x,y的一次解析式思考？线性目标函数的最优解一定存在吗？可行解满足线性约束条件的解(x,y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题提示：不一定.当可行域是开放区域，可行域的边界取不到时可能没有最优解.可行域右上方的顶点一定是最优解吗？提示：不一定.要根据目标函数对应的直线特点，即在y轴上的截距的意义确定.在线性约束条件下,最优解唯一吗？提示：不一定，可能只有一个，可能有多个，也可能有无数个.2.线性目标函数的最值线性目标函数z=a x+b y(b#O)对应的斜截式直线方程是y=Tx+W它表示斜率为一,在y轴上的截距是5勺一条直线，当z变化时,方程表示一b b组互相平行的直线.当b 0,截距最大时,z取得最大值,截距最小时,z取得最小值;当b 0,截距最大时,z取得最小值,截距最小时,z取得最大值.思考？(1)若将目标函数z=x+y 看成直线方程时一,z具有怎样的几何意义？提示：把目标函数整理可得y=-x+z,z为直线在y轴上的截距.(2)z值的大小与直线2 x-y-z=0 的纵截距有何关系？提示：z随直线的纵截距的增大而变小.,基础小测31.辨析记忆(对的打“J ”，错 的 打“X ”).(1)若线性规划问题存在最优解，它只能在可行域的某个顶点达到.()线性目标函数的最优解是唯一的.()若目标函数为z=x-y,则 z的几何意义是直线z=x-y 的截距.()提示：(1)X,存在最优解，但不一定只在顶点达到.X.最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.最优解不一定唯一,有时唯一，有时有多个.X.z 的几何意义是直线z=x-y 的截距的相反数.(2x+3y-3 0,则 z=2 x+y 的最小值是y+3 0,()A.-1 5 B.-9 C.1 D.9【解析】选A.画出约束条件2x+3y-3 0将 z=2x+y化 为 y=-2x+z,得到斜率为-2,在 y 轴上的截距为z 的一族平行直线.由图可知，当直线经过可行域上的点C时，截距z 最小,由.2“3y+3=0,解得)+3=0,x=-6,=-3.所以 C (-6,-3),所以 zm in=2X(-6)-3=-15.X 0,3.（教材二次开发：习题改编）若y 2 0,则 2=*-丫的最大值.x+y 1,为【解析】根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示.令 z=0,作直线/:y-x=O.当直线/向下平移时，所对应的z=x-y 的函数值随之增大，当直线/经过可行域的顶点M时，z=x-y 取得最大值.顶点M是直线x+y=1 与直线y=0 的交点，解方程组 0,1 .（2 0 1 9 浙江高考）若实数x,y满足约束条件（3x-y-4 0,z=3 x+2 y 的最大值是（）A.-1 B.1 C.1 0 D.1 2x-y-2 0,则 z=4 x+2 y 的最小值为I 2,()A.-1 7 B.-1 3 C.D.2 03p+y 0,3.（2 0 2 0 全国H I卷）若x,y满足约束条件1 2%-y 0,则z=3 x+2 y的U 0,1.若实数x,y满足约束条件(2%-y-2 0()A.0 B.1 C.6 D.7Ix-2y+4 0,2x-y-2 0,对应的平面区域如图：（阴影部分）.由 z=x+y 得 y=-x+z,平移直线 y=-x+z,由图象可知当直线y=-x+z经过点A时，直线y=-x+z的截距最大，此时z最大.(x-2y+4 =0,由.、2%-y-2 =0解得AG，T）-O 1 0代入目 标函数z=x+y 得Z=T=6.3 3即目标函数z二x+y的最大值为6.(x-2y+2 0,2.已知(x。,y。)为线性区域1%工1,内的一点，若 2 x0-y。-c 0成立，则c的取值范围是()A.(2,+8)B.2,+8)C.(1,+8)D.1,+8)【解析】选 A.由已知得到可行域D 如图，由图可知，对任意(x0,y o)D,不等式2 xo-y o_c 2 x-y 恒成立，即 c (2 x-y)m ax,当直线z=2 x-y 经过图中B(1,0)时，z 最大为2,所以c 2.3.(2 0 1 8 北京高考)若x,y满 足 x+1 W y W2 x,则 2 y-x的最小值是.【解析】x+1 W y W 2 x 等价于不等式组,(y 工 y【典例】1.X,y满足约束条件 W 2,若z=k x+y取得最大值的最优解y 1有无数个,则实数k的值为（）A.-1 B.0 C.1 D.T 或 0（x+y-3 m,()A.-5 B.-1 C.1 D.5【思路导引】1.利用目标函数与可行域边界平行求解.2.作出可行域,用m表示最优解,利用最小值求m的值.【解 析】1.选 A.不等式组对应的平面区域如图：由 z=kx+y 得 y=-kx+z,当k=0时，直线y=-kx+z=z,此时取得最大值的最优解只有一个，不满足条件;当-k 0时，直线y=-kx+z截距取得最大值时，z取得最大值,直线与x=y重合时，最大值有无数个，则-k=1,解 得k=-1；当-k0时，目标函数的最优解只有一个，不满足题意.2.选B.画出满足条件的平面区域，如图所示:x-2y-3=0y(y=m由 晨2 y-3 =0,解得八+加),设 z=2x+y,则 y=-2x+z,显然直线过A(2m+3,m)时，z最小，所以 4m+6+m-1，解得：m-1.&解题策略数形结合求解参数问题首 先 要 熟 练 线 性 规 划 问 题 的 求 解 步 骤 和 确 定 最 优 解 的 方 法，其 次要 明 确 线 性 目 标 函 数 的 最 值 一 般 在 可 行 域 的 顶 点 或 边 界 处 取 得，对 边界 直 线 的 斜 率 与 目 标 函 数 对 应 的 直 线 的 斜 率 要 对 照 分 析.跟踪训练、(y x,1.已 知X,y满 足 约 束 条 件 +y工2,若 目 标 函 数z=mx+y的 最 大 值 为(%2,-2,则 实 数m的 值 为()A.3 B.-3 C.3 或-3 D.0 或 3【解 析】选B.不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 如 图 中 的 阴 影 部 分 所 示.由 题 意 得m+l=-2,得m=-3.%+y 之 Q,2.设x,y满 足 约 束 条 件 ,且z=x+ay的 最 小 值 为7,则x-y 0)取得最大值的最优解有无穷多个,则a的值为.X【解析】因为z可看作是z=a x+y在y轴上的截距，由可行域可知，当z=a x+y与A C重合时，使z取得最大值的点有无穷多-2 3 3 3个，又 kA C=一，所以一a=一,a=-1-5 5 5 5答案J35【拓展延伸】1.含参数的线性目标函数问题的求解策略约束条件中含有参数:此时可行域是可变的，应分情况作出可行域,结合条件求出不同情况下的参数值.目标函数中含有参数:此时目标函数对应的直线是可变的，如果斜率一定，则对直线作平移变换;如果斜率可变，则要利用斜率与倾斜角间的大小关系分情况确定最优解的位置,从而求出参数的值.2.直线的斜率k与 倾 斜 角 的关系7 7(l)0 kl k2E b j-,0 a1 a2-；2 kk 2 0时,aa 2.2即当斜率同为正或同为负时一，均满足斜率越大,倾斜角越大,可以通过斜率来比较目标函数与边界倾斜程度的大小，从而确定最优解的位置.【拓展训练】13 x-y-2 0,最小值为a+1,则实数a 的取值范围为()A.(-i,2)11C.,2 D,-2,-L 2 J L 2J13 x-y-2 0则 A(1,1),B(2,4),由z=ax+y得y=-ax+z,直线y=-ax+z是斜率为-a,y轴上的截距为z的直线，因为z=ax+y的最大值为2a+4,最小值为a+1,所以直线z=ax+y过点B时，取得最大值为2a+4,经过点A时取得最小值为a+1,若a=0,则y=z,此时满足条件；若a0,则目标函数斜率k=-a0,要使目标函数在A处取得最小值,在B处取得最大值，则目标函数的斜率满足-a2kAc=-2,即0aW2；若a0,要使目标函数在A处取得最小值,在B处取得最大值，则目标函数的斜1率满足-a kec,21即一Wa 0,(2)已知约束条件(x+2 y-l 20,且目标函数z=a?x+(a-2-a9 y取得(3%+y-8 0,最小值的最优解唯一，为(2,2),则a的 取 值 范 围 是.【解析】线性约束条件所表示的区域如图中阴影部分所示.由于目标函数V的系数a-2-a2=-a-2 70.a2-a+2由于是最小值问题且最优解唯一，为图中的点A(2,2),从 而 只 需2 M d,解 得 二 上a 0,X-2 0,则a的取值范围是（）A.-1,+)B.(-8,-1 C.(-1,+8)D.-1)【解析】选A.作出不等式组对应的平面区域如图，（阴影部分）.由z=ax+y,得y=-ax+z,平移直线y=ax+z,要使z=ax+y的最大值为2a+6,即直线y=-ax+z经过点A（2,6）时，截距最大，则目标函数的斜率-a满足-a W l,解得a 2 7.（x+y-2 0,设z=kx+y,其中实数x,y满足（2y+4工0,若z的最大值为12,2xy-4 0.则实数k=.【解析】作出可行域如图阴影部分所示：1由图可知当0W-k-时，直线y=-kx+z经过点M（4,4）时,z最大，2所以4 k+4=12,解得k=2（舍去）；1当-k2-时，直线y=-kx+z经过点（0,2）时，z最大,2此时z的最大值为2,不合题意；当-k 0【典例】设x,y满足约束条件,x+y 0，则Z=(x+l)2+y2的最大值%0【解析】选A.根 据x,y满足约束条件1%+y之Q，画出可行域:(%0,2x+y5 1,值为()3 4 3 3A.-B.-C.-D.-5 5 4 2【思路导引】作出不等式组对应的平面区域,把所求问题转化为(x,y),(-3,0)两点之间的斜率即可得到结论.【解析】选 C.如图，阴影部分为可行域,目标函数z言 表 示 可 行 域 中 点(x,V)与(-3,0)连线的斜率，由图可知3点 P(1,3)与(-3,0)连线的斜率最大，故 z 的最大值为三.4变式探究f%+2 y 0已知实数X,y 满足1%-y W o ,则丘的最大值为()(0 y 0【解析】选D.作出实数x,y满足1%-y工0 对应的平面区域如图:(0 y 0,【典例】已知 +y-4 N 0,求 z=|x+2 y-4|的最大值.2 x-y-5 0,于是目标函数等价于z=x+2y-4,x-y+2=0,显然当直线经过点C时，z取得最大值，由,得点C的坐标.2x-y-5=0为(7,9),此时 Zmax=21.解题策略非线性目标函数的最值的求解策略 z=(x-a)2+(y-b)2 型的目标函数可转化为点(x,y)与点(a,b)距离的平方;特别地,z=x2+y2型的目标函数表示可行域内的点到原点的距离的平方.z=U型的目标函数可转化为点(x,y)与点(a,b)连线的斜率.x-a(3)z=|A x+B y+C|可转化为点(x,y)到直线A x+B y+C=O的距离的2+砂倍.易错警示：目标函数z=x?+y2的几何意义易错误理解为可行域内的点到原点的距离.题组训练1.已知实数x,y满足约束条件x+y-2 0