20242025学年福建省三明市永安九中、沙县区金沙高级中学高二上学期期中联考数学试卷一、单选题() 1. 椭圆 的离心率为（ ） A B C D () 2. 已知圆 的方程是 ， 则圆心 的坐标是（ ） A B C D () 3. 直线 与圆 的位置关系是（ ） A 相交且过圆心B 相切C 相离D 相交但不过圆心 () 4. 已知空间向量 满足 ， 则向量 的夹角为（ ） A B C D () 5. 若空间中有三点 ， 则点 到平面 的距离为（ ） A B C D () 6. 将直线 绕点 逆时针旋转 后所得直线的方程为（ ） A B C D () 7. 已知点 为直线 上任意一点， 则 的最小值是（ ） A B 2C D () 8. 已知点 为椭圆 上任意一点， 直线 过 的圆心且与 交于 两点， 则 的取值范围是（ ） A B C D 二、多选题() 9. 如图， 已知正方体 的棱长为 分别为棱 的中点， 则下列结论正确的为（ ） A B C D 不是平面的一个法向量 () 10. 若圆 与圆 相交， 则 k的取值可能为（ ） A B 0C 3D 5 () 11. 法国数学家蒙日在研究圆锥曲线时发现： 椭圆 的任意两条互相垂直的切线的交点 的轨迹是以原点为圆心， 为半径的圆， 这个圆称为蒙日圆 若矩形 的四边均与椭圆 相切， 则下列说法中正确的是（ ） A 椭圆的蒙日圆方程为B 过直线上一点作椭圆的两条切线， 切点分别为为直角时， 直线的斜率为C 若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点， 则D 若为正方形， 则的边长为 三、填空题() 12. 已知定点 ， 点 为圆 上的动点， 则 的中点 的轨迹方程为 _ . () 13. 设直线 与直线 的交点为 P， 则 P到直线 的距离的最大值为 _ () 14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现： 平面内到两个定点距离之比为定值 （ 且 ）的点的轨迹是圆， 此圆被称为“阿波罗尼斯圆”. 在平面直角坐标系 xOy中， 已知点 A(0， 3)， 圆 .若圆 C上存在点 M， 使 ， 则实数 a的取值范围是 _ 四、解答题() 15. 已知直线 和点 (1)求经过点 ， 且与直线 平行的直线的方程； (2)求经过点 ， 且与直线 垂直的直线的方程； (3)求点 关于直线 对称的点的坐标； () 16. 已知椭圆 ： 的离心率为 ， 焦距为4. (1)求椭圆 的标准方程； (2)若直线 与椭圆 相切， 且直线 与直线 ： 平行， 求直线 的斜截式方程. () 17. 如图， 在四棱锥 中， ， ， ， ， 底面 为正方形， ， 分别为 ， 的中点. (1)求点 到平面 的距离； (2)求直线 与平面 所成角的余弦值. () 18. 已知直线 ： ， ： ， 且满足 ， 垂足为 C. (1)求 m的值及点 C的坐标. (2)设直线 与 x轴交于点 A， 直线 与 x轴交于点 B， 求 的外接圆方程. () 19. 阿基米德（公元前287年-公元前212年， 古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家， 也是著名的数学家， 他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系 中， 椭圆 ： 的面积为 ， 两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.过点 的直线 与椭圆 C交于不同的两点 A， B. (1)求椭圆 C的标准方程； (2)设椭圆 C的左、右顶点分别为 P， Q， 直线 PA与直线 交于点 F， 试证明 B， Q， F三点共线.