20242025学年辽宁省沈阳市东北育学校高二上学期期中考试数学试卷一、单选题() 1. 下列可使 ， ， 构成空间的一个基底的条件是（ ） A B ， ， 两两垂直C D () 2. 已知直线 ： ， 直线 ： ， 则命题 ： 是命题 ： 的（ ） A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 () 3. 已知双曲线 的离心率为 ， 则 的值为（ ） A 18B C 27D () 4. 若方程 表示圆， 则 m的取值范围是（） A B C D () 5. 已知椭圆 的两焦点分别为 为椭圆 上一点且 ， 则 （ ） A B C D 2 () 6. 在平面直角坐标系 中， 已知向量 与 关于 轴对称， 若向量 满足 ， 记 的轨迹为 ， 则（ ） A 是一条垂直于轴的直线B 是两条平行直线C 是一个半径为1的圆D 是椭圆 () 7. “十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型， 图是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体， 其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱， 两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点， 另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）.若该同学绘制的“十字贯穿体”有两个底面边长为2， 高为 的正四棱柱构成， 在其直观图中建立如图所示的空间直角坐标系， 则（ ） A B 点的坐标为C ， ， ， 四点共面D 直线与直线所成角的余弦值为 () 8. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 过 的直线与椭圆 交于 两点， 若 且 ， 则椭圆 的离心率为（ ） A B C D 二、多选题() 9. 关于空间向量， 以下说法正确的是（ ） A 若空间向量， ， 则在上的投影向量为B 若空间向量， 满足， 则与夹角为锐角C 若对空间中任意一点， 有， 则， ， ， 四点共面D 若直线的方向向量为， 平面的一个法向量为， 则 () 10. 已知点 是左、右焦点为 ， 的椭圆 ： 上的动点， 则（ ） A 若， 则的面积为B 使为直角三角形的点有6个C 的最大值为D 若， 则的最大、最小值分别为和 () 11. 四叶草又称“幸运草”， 有一种说法是： 第一片叶子代表希望 第二片叶子表示信心 第三片叶子表示爱情 第四片叶子表示幸运.在平面直角坐标系中， “四叶草形”曲线 的方程为 ， 则下列关于曲线 的描述正确的有（ ） A 其图象是中心对称图形B 其图象只有2条对称轴C 其图象绕坐标原点旋转可以重合D 其图象上任意两点的距离的最大值为 三、填空题() 12. 已知 ， ， ， 点 ， 若 平面 ABC， 则点 P的坐标为 _ () 13. 已知直线 与圆 相交于 两点， 当 的面积取得最大值时， 直线 的斜率为 ， 则 _ . () 14. 已知椭圆 ， 过椭圆右焦点 F作互相垂直的两条弦 ， ， 则 的最小值为 _ 四、解答题() 15. 已知 的三个顶点分别是 ， ， . (1)求 边上的高所在的直线方程； (2)若直线 过点 ， 且与直线 平行， 求直线 的方程； (3)求 边上的中线所在的直线方程. () 16. 已知以点 为圆心的圆与直线 相切. (1)求圆 的方程; (2)过点 的直线 与圆 相交与 两点， 当 时， 求直线 方程； (3)已知实数 满足圆 的方程， 求 的最小值. () 17. 如图， 在三棱柱 中， ， ， ， ， 点 是 的中点， 平面 . (1)求证： 平面 ； (2)求 与平面 所成角的正弦值. () 18. 设常数 且 ， 椭圆 ： ， 点 是 上的动点 (1)若点 的坐标为 ， 求 的焦点坐标； (2)设 ， 若定点 的坐标为 ， 求 的最大值与最小值； (3)设 ， 若 上的另一动点 满足 （ 为坐标原点）， 求证： 到直线 PQ的距离是定值 () 19. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 离心率为 经过点 且倾斜角为 的直线 l与椭圆交于 A， B两点（其中点 A在 x轴上方）， 且 的周长为8 将平面 沿 x轴向上折叠， 使二面角 为直二面角， 如图所示， 折叠后 A， B在新图形中对应点记为 ， (1)当 时， 求证： ； 求平面 和平面 所成角的余弦值； (2)是否存在 ， 使得折叠后 的周长为 ？若存在， 求 的值；若不存在， 请说明理由