20242025学年上海市上海师范大学附属嘉定高级中学高三上学期期中考试数学试卷一、填空题() 1. 已知集合 ， ， 则 等于 _ () 2. 函数 的图象恒过定点 ， 则点 的坐标是 _ . () 3. 已知复数 是关于 的实系数方程 的一个根， 则 _ . () 4. 设 ： ， ： ， 是 的充分条件， 则实数 m的取值范围是 _ () 5. 已知幂函数 是偶函数， 且在区间 上为严格减函数， ， 则 _ . () 6. 已知函数 ， 则 _ () 7. 已知角 的顶点是坐标原点， 始边与 x轴的正半轴重合， 它的终边过点 ， 则 _ . () 8. 如图所示， 两块斜边长均等于 的直角三角板拼在一起， 则 的值为 _ . () 9. 已知不等式 对于 恒成立， 则实数 的取值范围是 _ () 10. 设函数 是定义在R上的奇函数， 且 ， 若 ， ， 则实数 m的取值范围是 _ . () 11. 已知关于 的方程 恰有2个实数解， 则实常数 的取值范围是 _ . () 12. 已知集合 ， 集合 P是集合 M的三元子集， 即 ， P中的元素 a， b， c满足 ， 则符合要求的集合 P个数是 _ . 二、单选题() 13. 已知向量 ， ， 则 （ ） A B 5C 7D 25 () 14. 已知函数 ， .若 成立， 则下列论断中正确的是（ ） A 函数在上一定是增函数；B 函数在上一定不是增函数；C 函数在上可能是减函数；D 函数在上不可能是减函数. () 15. 存在 使不等式 成立， 则实数 a的取值范围是（ ） A B C D () 16. 记函数 ， 函数 ， 若对任意的 ， 总有 成立， 则称函数 包裹函数 .判断如下两个命题真假： 函数 包裹函数 的充要条件是 ； 若对于任意 对任意 都成立， 则函数 包裹函数 . 则下列选项正确的是（ ） A 真假B 假真C 全假D 全真 三、解答题() 17. 已知函数 ， 其中 . (1)求函数 的最小正周期及函数在区间 上的最大值； (2)在 中， 角 A， B， C的对边分别为 a， b， c且 ， ， ， 求 面积的大小. () 18. 如图， 已知四棱锥 中， 底面 是边长为2的菱形， ， 底面 ， ， 点 E是 的中点. (1)求证： 平面 ； (2)求 与平面 所成角大小. () 19. 某地计划在一处海滩建造一个养殖场 （1）如图（ a）所示， 射线 、 为海岸线， ， 用长度为 的围网 依托海岸线围成一个 的养殖场， 问如何选取点 P、 Q， 才能使养殖场 的面积最大， 并求最大面积 （2）如图（ b所示， 直线 l为海岸线， 现用长度为 的围网依托海岸线围成一个养殖场 方案一： 围成三角形 （点 A、 B在直线 l上）， 使三角形 面积最大， 设其为 ； 方案二： 围成弓形 （点 D、 E在直线 l上， C是优弧 所在圆的圆心且 ）， 面积为 试求出 的最大值和 （均精确到 ）， 并指出哪一种设计方案更好 () 20. 已知椭圆 ： ， 、 分别为左、右焦点， 直线 过 交椭圆于 、 两点. (1)求椭圆的离心率； (2)当 ， 且点 在 轴上方时， 求 、 两点的坐标； (3)若直线 交 轴于 ， 直线 交 轴于 ， 是否存在直线 ， 使得 ？若存在， 求出直线 的方程；若不存在， 请说明理由. () 21. 已知实数 ， 设 . (1)若 ， 求函数 的图象在点 处的切线方程； (2)若 ， 已知函数 ， 的值域为 ， 求实数 的取值范围； (3)若对于任意的 ， 总存在 ， 使得 ， 求 的取值范围.