20242025学年上海市宝山区上海存志高级中学高二上学期10月月考数学试卷一、填空题() 1. 直线 上存在两点在平面 上， 则 _ （填一符号） () 2. 已知空间中两个角 ， 且角 与角 的两边分别平行， 若 ， 则 _ . () 3. 已知某圆柱的表面积是其下底面面积的 倍， 则该圆柱的母线与底面半径的比值为 _ . () 4. 下列命题中： 空间中三个点可以确定一个平面；直线和直线外的一点， 可以确定一个平面；如果三条直线两两相交， 那么这三条直线可以确定一个平面；如果三条直线两两平行， 那么这三条直线可以确定一个平面；如果两个平面有无数个公点， 那么这两个平面重合 真命题的个数为 _ 个 () 5. 已知空间四点 A、 、 、 共面， 且其中任意三点均不共线， 设 为空间中不在平面 上的任意一点， 若 ， 则 _ () 6. 若一个三棱台的上、下底面的面积分别是1和4， 体积为 ， 则该三棱台的高为 _ () 7. 有下列命题： 若 ， 则 四点共线； 若 ， 则 三点共线； 若 为不共线的非零向量， ， 则 ； 若向量 是三个不共面的向量， 且满足等式 ， 则 其中是真命题的序号是 _ （把所有真命题的序号都填上） () 8. 有一根长为 hcm， 底面半径为 rcm的圆柱形铁管， 用一段铁丝在该圆柱的侧面上缠绕3圈， 并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端， 若铁丝长度的最小值为20cm， 则圆柱侧面积的最大值为 _ () 9. 长方体 中， ， 分别为 ， 的中点， ， ， 四面体 的四个顶点在球 的球面上， 则球 的表面积为 _ () 10. 一个圆锥轴截面 为边长 的正三角形， 在该圆锥侧面与底面之间的空间部分放入一个正方体， 正方体可以任意转动， 则正方体最大体积为 _ . () 11. 如图， 边长为2的正方形 沿对角线 折叠， 使 ， 则三棱锥 的体积为 _ . () 12. 在棱长为6的正方体 中， 为棱 上一动点， 且不与端点重合， ， 分别为 ， 的中点， 给出下列四个结论： 平面 平面 ；平面 可能经过 的三等分点；在线段 上的任意点 （不与端点重合）， 存在点 使得 平面 ；若 为棱 的中点， 则平面 与正方体所形成的截面为五边形， 且周长为 ， 其中所有正确结论的序号是 _ 二、单选题() 13. 如图所示， 在三棱锥 中， 为 的中点， 设 ， ， ， 则 （ ） A B C D () 14. 已知 ， 是两个平面， ， 是两条不同的直线， 则下列说法正确的是（ ） A 若， ， 则B 若， ， 则C 若， ， 则D 若， ， 则 () 15. 在正四面体 中， ， 点 满足 ， 则 的最小值为（ ） A B C D () 16. 如图， 在棱长为2的正方体 中， 点 ， 是底面 内的一点（包括边界）且 ， ， 则下列说法错误的是（ ） A 点的轨迹长度为B 点到平面的距离是定值C 直线与平面所成角的正切值的最大值为D 的最小值为 三、解答题() 17. 如图， 在正四棱柱 中， ， (1)求 与底面 所成角； (2)求点 A到平面 的距离 () 18. 如图， 已知圆锥的顶点为 ， 底面圆心为 ， 高为 ， 底面半径为2 (1)求该圆锥的侧面积： (2)设 为该圆锥的底面半径， 且 为线段 的中点， 求直线 与直线 所成的角的余弦值 () 19. 如图是一个奖杯的直观图， 它由球长方体和正四棱台构成 已知球的半径为 ， 长方体的长宽和高分别为 ， 正四棱台的上下底面边长和高分别为 (1)求下部分正四棱台的侧面积； (2)求奖杯的体积 （结果取整数， 取3） () 20. 如图， 平行六面体 的底面 是菱形， 且 ， 求： (1)若 ， ， 记面 为 ， 面 为 ， 求二面角 的平面角的余弦值； (2)当 的值为多少时， 能使 平面 ？ () 21. 如图， 在平面五边形 中， ， ， ， ， 的面积为 .现将五边形 沿 向内进行翻折， 得到四棱锥 . (1)求线段 的长度； (2)求四棱锥 的体积的最大值； (3)当二面角 的大小为 时， 求直线 与平面 所成的角的正切值.