20242025学年北京市首都师范大学附属育新学校高二上学期期中考试数学试卷一、单选题() 1. 已知 ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线， 下列说法正确的是（ ） A 若， ， ， 则B 若， ， 则C 若， ， 则D 若， ， 则 () 2. 下列可使非零向量 构成空间的一组基底的条件是（ ） A 两两垂直B C D () 3. 在棱长为1的正方体 中， 则点 到直线 的距离为（ ） A B C D () 4. 已知直线 l的方向向量为 ， 平面 的法向量为 ， 若直线 l与平面 垂直， 则实数 x的值为（ ） A B 10C D () 5. 九章算术中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算， 其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图， 在堑堵 中， 分别是 的中点， 是 的中点， 若 ， 则 （ ） A 1B C D () 6. 已知直线 与直线 平行， 则 与 之间的距离为（ ） A 2B 3C 4D 5 () 7. 若直线 与圆 的两个交点关于直线 对称， 则 ， 的直线分别为（ ） A ， B ， C ， D ， () 8. 已知圆 ， 直线 过点 ， 则直线 被圆 截得的弦长的最小值为（ ） A B C D () 9. 已知圆 的方程为 ， 则“ ”是“函数 的图象与圆 有四个公共点”的（ ） A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 () 10. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名， 他发现： 平面内到两个定点 、 的距离之比为定值 的点所形成的图形是圆， 后来， 人们将这个圆以他的名字命名， 称为阿波罗尼斯圆， 简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系 中， ， .点 满足 ， 设点 所构成的曲线为 ， 下列结论不正确的是（ ） A 的方程为B 在上存在点， 使得到点的距离为3C 在上存在点， 使得D 上的点到直线的最小距离为1 二、填空题() 11. 已知圆锥的母线与底面所成角为 ， 高为 .则该圆锥的体积为 _ . () 12. 已知平面 的一个法向量为 ， 点 是平面 上的一点， 则点 到平面 的距离为 _ . () 13. 过两条直线 与 的交点， 倾斜角为 的直线方程为 _ （用一般式表示） () 14. 已知某隧道内设双行线公路， 车辆只能在道路中心线一侧行驶， 隧道截面是半径为4米的半圆， 若行驶车辆的宽度为 米， 则车辆的最大高度为 _ 米 () 15. 如图， 在棱长为2的正方体 中， 点 在线段 （不包含端点）上运动， 则下列结论正确的是 _ .（填序号） 正方体 的外接球表面积为 ；异面直线 与 所成角的取值范围是 ；直线 平面 ；三棱锥 的体积随着点 的运动而变化. 三、解答题() 16. 已知 顶点 、 、 (1)求线段 的中点及其所在直线的斜率； (2)求线段 的垂直平分线 的方程； (3)若直线 过点 ， 且 的纵截距是横截距的 倍， 求直线 的方程 () 17. 在平面直角坐标系 中， 圆 经过点 和点 ， 且圆心在直线 上. (1)求圆 的标准方程； (2)若直线 被圆 截得弦长为 ， 求实数 的值. () 18. 已知圆 ， 直线 过点 . (1)求圆 的圆心坐标及半径长； (2)若直线 与圆 相切， 求直线 的方程； (3)设直线 与圆 相切于点 ， 求 . () 19. 如图所示， 在几何体 中， 四边形 和 均为边长为2的正方形， ， 底面 ， M、 N分别为 、 的中点， . (1)求证： 平面 ； (2)求直线 与平面 所成角的正弦值 () 20. 如图， 已知等腰梯形 中， ， ， 是 的中点， ， 将 沿着 翻折成 ， 使 平面 . (1)求证： 平面 ； (2)求平面 与平面 夹角的余弦值； (3)在线段 上是否存在点 ， 使得 平面 ， 若存在， 求出 的值；若不存在， 说明理由. () 21. “曼哈顿几何”也叫“出租车几何”， 是在19世纪由赫尔曼闵可夫斯基提出来的 如图是抽象的城市路网， 其中线段 是欧式空间中定义的两点最短距离， 但在城市路网中， 我们只能走有路的地方， 不能“穿墙”而过， 所以在“曼哈顿几何”中， 这两点最短距离用 表示， 又称“曼哈顿距离”， 即 ， 因此“曼哈顿两点间距离公式”： 若 ， ， 则 (1)点 ， ， 求 的值 求圆心在原点， 半径为1的“曼哈顿单位圆”方程 (2)已知点 ， 直线 ， 求 B点到直线的“曼哈顿距离”最小值； (3)设三维空间4个点为 ， ， 且 ， ， 设其中所有两点“曼哈顿距离”的平均值即 ， 求 最大值， 并列举最值成立时的一组坐标