20242025学年上海市静安区风华中学高二上学期期中考试数学试卷一、填空题() 1. 两个平面最多可以将空间分成 _ 部分. () 2. 已知空间中两条直线 a、 b， “ a b”是“ a与 b相交”的 _ 条件（选填“充分非必要”、“必要非充分”、“既非充分又非必要”、“充要”） () 3. 若球 、 表面积之比 ， 则它们的半径之比 _ . () 4. 如图， 在三棱台 的9条棱所在直线中， 与直线 是异面直线的共有 _ 条. () 5. 已知正三角形 的边长为2， 边 在水平线上， 则其平面直观图的面积为 _ . () 6. 已知圆锥的底面面积为 ， 母线长为4， 则该圆锥的体积为 _ . () 7. 已知圆柱的轴截面是正方形， 这个正方形的面积为 ， 则该圆柱的表面积为 _ . () 8. 如图， 在棱长为1的正方体 中， 为底面 内（包括边界）的动点， 满足 与直线 所成角的大小为 ， 则线段 扫过的面积为 _ . () 9. 在四面体 中， ， ， ， 则直线 与 所成角为 _ . () 10. 在长方体 中， 棱 ， ， 点 是线段 上的一动点， 则 的最小值是 _ 二、单选题() 11. 下列条件中， 能够确定一个平面的是（ ） A 两个点B 三个点C 一条直线和一个点D 两条相交直线 () 12. 若 、 、 是互不相同的直线， ， 是不重合的平面， 则下列命题中为真命题的是（ ） A 若， ， ， 则B 若， ， 则C 若， ， 则D 若， ， 则 () 13. M， N分别为菱形 ABCD的边 BC， CD的中点， 将菱形沿对角线 AC折起， 使点 D不在平面 ABC内， 则在翻折过程中， 对于下列两个命题： 直线 MN恒与平面 ABD平行；异面直线 AC与 MN恒垂直 以下判断正确的是（ ） A 为真命题， 为真命题；B 为真命题， 为假命题；C 为假命题， 为真命题；D 为假命题， 为假命题； 三、解答题() 14. 如图， 正四棱柱 的底面边长为2， 侧棱长为3， 的中点为 . (1)求证： 直线 与直线 是异面直线； (2)求直线 与 所成角的大小. () 15. 亭子是一种中国传统建筑， 多建于园林， 人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.假设我们把亭子看成由一个圆锥 与一个圆柱 构成的几何体 （如图2）.一般地， 设圆锥 中母线与底面所成角的大小为 ， 当 时， 方能满足建筑要求.已知圆锥高为1.5米， 圆柱高为3米， 底面半径为2米. (1) ， 求几何体 的体积； (2)如图2， 若圆锥底面半径为2.5米， 设 为圆柱底面半圆弧 的一个点， 求圆柱母线 和圆锥母线 所在异面直线所成角的正切值， 并判断该亭子是否满足建筑要求. () 16. 已知， 如图 P是平面 外一点， PA是平面 的斜线， 交 于点 A， 过点 P作平面 的垂线 PO， 垂足是 O， 直线 OA是 PA在平面 上的投影 求证： 对平面 上任一直线 a， a OA是 a PA的充要条件 () 17. 如图， 在正三棱柱 中， 已知 ， 、 分别是 、 的中点. (1)求正三棱柱 的表面积； (2)求证： 平面 平面 ； (3)求证： 直线 平面 . () 18. 如图， 在四棱锥 中， 底面 为直角梯形， ， ， ， ， 、 分别为棱 、 中点. (1)求证： 平面 平面 ； (2)若平面 平面 ， 直线 与平面 所成的角为 ， 且 ， 求四棱锥 的体积； 求二面角 的大小.