20242025学年上海市曹杨第二中学高二上学期期中考试数学试卷一、填空题() 1. 已知i为虚数单位， 计算： _ () 2. 若三个平面 ， ， 两两相交， 则这三个平面的交线有 _ 条. () 3. 在 中， 若 ， 且 的面积为 ， 则 _ () 4. 已知正三棱柱的底面边长为2， 高为 ， 则其体积为 _ . () 5. 已知 ， 空间向量 ， 若 ， 则 _ () 6. 已知等差数列 的前 n项和为 ， 若 ， 则 _ () 7. 如图， 在正方体 的所有棱所在直线中， 与直线 异面的共有 _ 条 () 8. 已知一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍， 则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为 _ () 9. 已知 ， 、 、 三点不共线， 为平面 外任意一点 若 ， 且 、 、 、 四点共面， 则 _ () 10. 如图， 在透明塑料制成的长方体 容器内灌进一些水（未满）， 将容器底面一边 BC固定于地面上， 再将容器倾斜， 随着倾斜度的不同， 有下列四种说法： 水的部分始终呈棱柱状； 棱 始终与水面 平行； 水面四边形 的面积不改变； 当 ， 且 时， 是定值. 其中所有正确的命题的序号是 _ .（请在横线上写出所有正确答案的序号， 错选不得分） () 11. 如图， 是边长为 的等边三角形， 为直角三角形， D为直角顶点， ， 连接 AD 当二面角 从 变化到 的过程中， 线段 AD在平面 上的投影扫过的平面区域的面积为 _ () 12. 小玲在一个棱长为 的密封正方体盒子中， 放入一个半径为 的小球 无论她怎么摇动盒子， 小球在盒子中不能达到的空间体积为 _ （结果中保留 ） 二、单选题() 13. 函数 的最小正周期是（ ） A B C D () 14. 空间中， 已知两条直线 m， n， 其方向向量分别为 ， 则“ ”是“ m与 n所成角为” 的（ ） A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 既非充分又非必要条件 () 15. 在空间， 已知直线 及不在 上两个不重合的点 ， 过直线 作平面 ， 使得点 到平面 的距离相等， 则这样的平面 的个数不可能是（ ） A 1个B 2个C 3个D 无数个 () 16. 已知正三棱锥 的所有顶点均在球 的球面上， ， 侧棱 ， 点 在线段 上， 且 过点 作球 的截面， 则所得截面面积的取值范围是（ ） A B C D 三、解答题() 17. 已知i为虚数单位 设 ， 复数 (1)若 的实部与虚部相等， 求 的大小； (2)已知 ， 若 是方程 的一个虚根， 求 p与 q的值 () 18. 如图， 在直三棱柱 中， ， E， F分别为 、 BC的中点 建立适当的空间直角坐标系， 用空间向量方法解决如下问题： (1)求证： ； (2)求点 到平面 的距离 () 19. 如图所示的几何体， 是将体积为 、底面半径为2的圆柱沿着过旋转轴的平面切开后， 将其中一半沿切面向右水平平移后形成的， AB、 BC为底面直径， BE、 CD为圆柱的母线， 分别为 AB、 BC、 DE的中点， F为弧 AB的中点， G为弧 BC的中点 (1)求这个几何体的表面积； (2)求异面直线 CF与 所成角的余弦值 () 20. 如图， 在四棱锥 中， 平面 ， ， 点 是棱 上的动点 (1)求证： 平面 ； (2)试确定点 的位置， 使得截面 把该四棱锥分成的两个几何体 与 的体积比为 ； (3)记二面角 的大小为 ， 二面角 的大小为 试确定点 E的位置， 使得 () 21. 设 且 ， 数列 的各项均为整数， 其前 n项和为 、定义： 若 满足前 r项依次成公差为1的等差数列， 从第 项起往后依次成公比为2的等比数列， 则称 为“ r关联数列”； (1)若 为“3关联数列”， 求 ； (2)若 为“6关联数列”， 证明： 对任意正整数 n， 都有 ； (3)设 k、 m为正整数且 若 为“ r关联数列”， 且 ， 是否存在 k、 m， 使得 ?若存在， 求出所有满足条件的 k、 m；若不存在， 请说明理由