20242025学年上海市控江中学高二上学期期中考试数学试卷一、填空题() 1. 若球 的半径为5， 圆 为该球的一个小圆且面积为 ， 则线段 的长度是 _ . () 2. 如图， 一水平放置的三角形的直观图是 ， 且 的面积为3， 则原三角形的面积为 _ . () 3. 如果圆锥的底面圆半径为1， 母线长为2， 则该圆锥的侧面积为 _ . () 4. 如图， 在正方体 中， 二面角 的大小是 _ . () 5. 如图， 在正四棱锥 中， ， 直线 与平面 所成角为 ， 则该正四棱锥的高是 _ () 6. 若球的体积是 ， 则球的表面积是 _ . () 7. 在正四面体 中， 棱 与 所成角大小为 _ . () 8. 如图， 平面 .正方形 的边长为 ， ， 则 到平面 的距离是 _ . () 9. 如图， 在棱长为1的正方体 中， 是棱 的中点， 为棱 上一个点， 若 ， 则 _ . () 10. 已知圆柱底面半径为1， 高为2， 是上底面圆的一条直径， 为下底面圆的一条动弦且与 平行， 设 与 的距离为 ， 则 的取值范围是 _ . () 11. 在正方体 中， E， F分别为 CD， 的中点， 则以 EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为 _ . () 12. 如图， 对于一个给定的四面体 .存在四个依次排列且互相平行的平面 、 、 、 ， 使得 .且其中每相邻的两个平面间的距离都相等.记四面体 夹在平面 与 之间的体积为 ， 则 _ . 二、单选题() 13. 若 是平面 与平面 的交线， 直线 和 是异面直线， 在平面 内， 在平面 内， 则下列命题正确的是（ ） A 至少与、中的一条相交B 与、都相交C 至多与、中的一条相交D 与、都不相交 () 14. 如图， 在三棱锥 中， 棱 的中点为 ， 棱 的中点为 ， 棱 的中点为 ， 经过 、 、 的截面一定是（ ） A 三角形B 矩形C 梯形D 平行四边形 () 15. 定义： 通过 小时内降水在平地上的积水厚度（ ）来判断降雨程度；其中小雨（ ）， 中雨（ ）， 大雨（ ）， 暴雨（ ）；小明用一个圆锥形容器（如图）接了 小时的雨水， 则这天降雨属于哪个等级（ ） A 小雨B 中雨C 大雨D 暴雨 () 16. 在正方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1中， E， F分别为棱 AA 1， CC 1的中点， 则在空间中与三条直线 A 1 D 1， EF， CD都相交的直线（ ） A 不存在B 有且只有两条C 有且只有三条D 有无数条 三、解答题() 17. 如图， 在长方体 中， 、 分别是棱 、 的中点， ， . (1)求直线 与平面 所成的角的大小； (2)求直线 与直线 所成的角的大小. () 18. 如图， 在四棱锥 中， 底面 是边长为2的菱形， 平面 ， ， 为 的中点. (1)证明： 平面 平面 ； (2)求二面角 的大小. () 19. 如图， 是圆柱下底面的直径且长度为 ， 是圆柱的母线且 ， 点 是圆柱底面圆周上的点. (1)求圆柱的侧面积和体积； (2)若 ， 点 在线段 上， 点 在线段 上， 求 的最小值， 并求此时 的长. () 20. 如图， 已知 是底面边长为2的正四棱柱， 为 与 的交点. 为 与 的交点. (1)证明： 平面 ； (2)若点 到平面 的距离为 ， 求正四棱柱 的高； (3)若线段 上存在点 ， 使得直线 与平面 所成角为 ， 求线段 的取值范围. () 21. 如图， 是底面边长为1的正三棱锥， 、 、 分别为棱 、 、 上的动点， 截面 底面 ， 且棱台 与棱锥 的棱长和相等.（注： 棱长和是指多面体中所有棱的长度之和） (1)当 为棱 的中点时， 求棱台 的体积； (2)求在二面角 的变化过程中， 线段 在平面 上投影所扫过的平面区域的面积； (3)设常数 ， 称较小内角为 的菱形为 -菱形.当点 在棱 上运动（不含端点）时， 总存在底面为 -菱形的直平行六面体， 使得它与棱台 有相同的体积， 也有相同的棱长和， 求 的取值范围.