内蒙古呼和浩特市20242025学年高二上学期第一次月考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（）A充要条件B既不充分也不必要条件C充分不必要条件D必要不充分条件2已知，为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则3关于空间中的角，下列说法中正确的个数是（）空间中两条直线所成角的取值范围是空间中直线与平面所成角的取值范围是空间中二面角的平面角的取值范围是空间中平面与平面所成角的取值范围是A1B2C3D44已知三棱锥，点是的中点，点是的重心（三角形三条中线的交点叫三角形的重心）设，则向量用基底可表示为（）ABCD5已知平面的法向量为，若平面外的直线的方向向量为，则可以推断（）ABC与斜交D6如图，在平行六面体中，则（）A12B8C6D47如图，已知大小为的二面角棱上有两点A，B，若，则AB的长度（ ）A22B40CD8已知，则下列说法错误的是（）A若分别是直线的方向向量，则所成角余弦值是B若分别是直线l的方向向量与平面的法向量，则l与所成角正弦值是C若分别是平面ABC、平面BCD的法向量，则二面角的余弦值是D若分别是直线l的方向向量与平面的法向量，则l与所成角余弦值是.二、多选题（本大题共3小题）9直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（）A若，则直线平面B若，则平面平面C若，则平面所成锐二面角的大小为D若，则直线与平面所成角的大小为10关于空间向量，以下说法正确的是（）A若，则向量，的夹角是锐角B空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面C若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面D若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面11（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（）A点F到点E的距离为B点F到直线的距离为C点F到平面的距离为D平面到平面的距离为三、填空题（本大题共3小题）12在空间直角坐标系中，点，2，关于轴的对称点的坐标为 13已知空间，则 14给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：.规定：（i）为同时与，垂直的向量；（ii），三个向量构成右手系（如图1）；（iii）.如图2，在长方体中，.给出下列四个结论：；.其中，正确结论的序号是 .四、解答题（本大题共5小题）15在长方体中（如图），点是棱的中点.(1)求异面直线与所成角的大小；(2)九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体是否为鳖臑？并说明理由.16如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形.再从条件、条件、条件中选择两个能解决下面问题的条件作为已知.并做答.条件：；条件：；条件：平面平面.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.17如图，四边形为梯形，四边形为平行四边形.(1)取中点，求证：平面平面；(2)若平面，求：（i）平面与平面所成角的正弦值；（ii）点到平面的距离.18如图，在直三棱柱中，分别为，的中点(1)求证：平面；(2)求证：、四点共面；(3)求二面角的余弦值.19如图，在长方体中，AD=1，H，F分别是棱，的中点.(1)判断直线HF与平面的位置关系，并证明你的结论；(2)求直线HF与平面ABCD所成角的正弦值；(3)在线段HF上是否存在一点Q，使得点Q到平面的距离是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.参考答案1【答案】D【详解】若，则或，故充分性不成立，若，则，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：D.2【答案】B【分析】根据空间线面位置关系依次判断各选项即可得答案.【详解】解：对于A，若，则，故错误；对于B，则，正确；对于C，则或，故错误；对于D，若，则或异面，故错误.故选：B3【答案】C【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角范围判断即可.【详解】对于：由空间中两条直线所成角的取值范围是，可知正确；对于：由空间中直线与平面所成角的取值范围是，可知正确；对于：空间中二面角的平面角的取值范围是，可知错误；对于：空间中平面与平面所成角的取值范围是，可知正确；故选：C4【答案】B【详解】记BC的中点为E，连接AE，则，又，所以，由重心性质可知，所以，所以.故选：B5【答案】C【详解】由与，得，即向量与不垂直，因此不平行于平面，即直线，直线与平面也不平行，直线与平面相交，AD错误；显然向量与不共线，即直线与平面不垂直，与斜交，B错误，C正确.故选：C6【答案】B【详解】故选B.7【答案】C【分析】过作且，连接，易得，通过线面垂直的判定定理可得平面，继而得到，由勾股定理即可求出答案.【详解】解：过作且，连接，则四边形是平行四边形，因为，所以平行四边形是矩形，因为，即，而，则是二面角的平面角，即，因为，即为正三角形，所以，因为，即，平面，所以平面，因为平面，所以，所以在中，所以，故选：C8【答案】C【分析】根据向量法逐一判断即可.【详解】对于A：因为直线与直线所成角范围为，所以所成角余弦值为，故A正确；对于B：因为直线与平面所成角范围为，所以l与所成角正弦值，l与所成角余弦值为，故BD正确；对于C：因为二面角的平面角所成角范围为，所以二面角的余弦值可能为负值，故C错误；故选：C9【答案】BCD【分析】由，则直线平面或，可判断；根据平面法向量的概念及空间角的求解方法，可判断.【详解】由，则直线平面或，故错误；由，则平面平面，故正确；若，设平面和平面所成角为，且，则，所以平面所成锐二面角的大小为，故正确；设直线与平面所成角为，则，且，所以直线与平面所成角的大小为，故正确.故选.10【答案】BC【分析】根据空间向量共面定理即可判断B；根据，得到，即可判断A；根据判断四点共面即可判断C；根据异面直线的平行线即可判断D.【详解】对于A：若，则，则向量，的夹角可以为0不是锐角,故 A错误；对于B：根据空间向量共面定理知，空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确.对于C：因为，且，所以四点共面,故C正确.对于D：分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量是异面直线的平行线可以共面，故D错误.故选BC.11【答案】ABC【详解】以D为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系由题意知，设平面的法向量为，所以则可得平面的一个法向量为点F到点E的距离，故A正确；点F到直线的距离为，故B正确；点F到平面的距离，故C正确；由正方体的性质可知，平面平面，平面到平面的距离即为点F到平面的距离故D错误故选：ABC12【答案】，【解析】利用空间直角坐标系中点的对称关系直接求解即可【详解】空间直角坐标系中，点，2，关于轴的对称点坐标为，故答案为：，13【答案】【详解】由，且，则，解得，故.故答案为：.14【答案】【分析】由新定义逐一核对四个选项得答案【详解】解：，且分别与垂直，故正确；由题意，故错误；，且与共线同向，与共线同向，与共线同向，且与共线同向，故正确；，故成立故答案为：15【答案】(1)(2)是，理由见解析【详解】（1）解：作交于，联结，因为是棱的中点.所以为的中点，则为异面直线与所成角，因为，所以，因为为正三角形，即，异面直线与所成角为.（2）解：是棱上的中点，则均为等腰直角三角形，故，所以为直角三角形，由平面，面，所以平面平面，又，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，所以为直角三角形，因为平面，平面，所以，所以均为直角三角形，故四面体四个面均为直角三角形为鳖臑.16【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）若选择条件，则不能解决丙个问题，若选择条件，则可以解决第（1）问，不能解决（2）问，若选择条件，则可以解决两个问题.因为平面平面，平面平面所以平面，又平面，所以.因为，所以，则，又且两直线在平面内，所以平面.（2）由（1）知，选择条件，则可以解决两个问题.以为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，且，则，所以设平面的法向量为，则由，令，则，取.设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.17【答案】(1)证明见解析(2)（i）；（ii）【详解】（1）如图，在射线上取点，使，连接.由题设，得，所以四边形为平行四边形.所以且.又四边形为平行四边形，所以且.所以且.所以四边形为平行四边形,所以.因为平面平面所以平面.又，则，且平面，平面，所以平面，且，平面，所以平面平面.（2）（i）因为平面，平面，所以.又，所以，两两相互垂直.如图建立空间直角坐标系,则.所以,，设平面的法向量为，则，即，令，则，于是.设平面的法向量为，则，即，令，则，于是.设平面与平面所成角为，则，所以所以平面与平面所成角的正弦值为.（ii）因为DC=1,0,0，平面的法向量为，则点到平面的距离为.18【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【详解】（1）连接，因为分别为的中点，所以在三棱柱中，.所以四点共面.因为分别为的中点，所以.所以四边形为平行四边形.所以.因为平面平面，所以平面.（2）连接，因为为直三棱柱，且分别为的中点，所以，又，所以，所以、四点共面.（3）由题设平面，所以.因为，所以两两垂直.如图建立空间直角坐标系.所以.平面的一个法向量是，设平面的法向量为，则即令，则.于是，设二面角的平面角为，则，由图可知为锐角，所以.19【答案】(1)面，证明见解析；(2)；(3)不存在，理由见解析.【详解】（1）若为的交点，连接，又H，F分别是棱，的中点，由长方体的结构特征知：且，故为平行四边形，所以，面，面，则面.（2）由（1）知： HF与面ABCD所成角，即为与面ABCD所成角，长方体中，到面ABCD的距离为，所以与面ABCD所成角正弦值为，即HF与面ABCD所成角的正弦值为.（3）由（1）知：面，即HF上任意一点到面的距离都相等，所以只需求到